Orthogonales Komplement zu einem Unterraum finden

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { (i) Gegeben Sei der Untervektorraum }} \\ {\qquad U=\left\langle\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{0} \\ {2} \\ {-6}\end{array}\right)\right\rangle \subset \mathbb{R}^{3} \text { . }} \\ {\text { Bestimmen Sie das orthogonale Komplement } U^{\perp}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} |\langle x, u\rangle= 0 \forall u \in U\right\} \text { von } U \text { beziglich des Stan- }} \\ {\text { dardskalarproduktes. }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:
Wie geht man hier am effektivsten vor um entsprechende Basisvektoren zu finden?
Vielen Dank im Voraus!

Comments

TeX und LaTex sind Hilfsmittel für Formeln!! Es ist nicht Sinn und Zweck komplette Texte damit zu schreiben.

Answer 1

Wie du sicher weißt (wenn nicht: Übung!), ist das Orthogonale Komplement \(T\) von \(U\) tatsächlich ein Komplementärraum von \(U\), bedeutet \(U+T\cong \mathbb{R}^3\) und \(U\cap T = 0\). Bedeutet also sofort, dass \(T\) eindimensional sein muss, du musst also nur einen einzigen Vektor außer 0 in \(T\) finden, dann bist du fertig. Nach Bilinearität des Skalarprodukts reicht es aus, einen Vektor zu finden, der orthogonal auf beiden Basisvektoren von \(U\) steht. Fällt dir da etwas bestimmtes ein?

Spoiler: Das Kreuzprodukt aus der Schule macht den Job. Dass das Ergebnis des Kreuzproduktes tatsächlich orthogonal auf den beiden Eingaben steht, darfst du natürlich selbst nachrechnen ;)

LG