Wie löse ich dieses Summenzeichen von n+1 auf?

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{i(i+1)}} \) = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)}} \)+\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \)

= 1-\( \frac{n}{n+1} \)+\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \)

= 1-\( \frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)} \)


Problem/Ansatz: Wie komme ich in der ersten Zeile auf 1/(n+1)(n+2) beim Auflösen des n+1? Und wie komme ich von der zweiten auf die dritte Zeile 1-\( \frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)} \)? Danke!

Unknown: Latex von Duplikat übernommen

Comments

Frage in ordentlicher:

\( \sum\limits_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{i(i+1)}} \) = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)}} \)+\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \)

= 1-\( \frac{n}{n+1} \)+\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \)

= 1-\( \frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)} \)

Problem/Ansatz: Wie komme ich in der ersten Zeile auf 1/(n+1)(n+2) beim Auflösen des n+1? Und wie komme ich von der zweiten auf die dritte Zeile 1-\( \frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)} \)?

Answer 1

Zur ersten Frage: Wenn Du eine Induktion machst (die besteht aus viel mehr als nur einer Rechnung), sollte irgendwo die Ind. Ann. stehen. Die wird hier eingesetzt.

Zur zweiten Frage: bringe den zweiten und dritten Summanden auf einen gemeinsamen Nenner.

Comments

Ja genau, das ist Teil einer Induktion aber die I.annahme habe ich schon eingefügt, dort wurde \( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)}} \) durch 1-\( \frac{1}{n+1} \) ersetzt

Zeile zwei bis drei habe ich jetzt verstanden.

---

Genau dieses Einfügen der Ind.Ann. ist doch von Zeile 1 zu Zeile 2 passiert, mehr nicht. Was ist denn noch unklar?

---

Woher die \( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \) in der ersten Zeile kommen, also noch vor dem Einfügen der Annahme. Die müssen ja dann bestimmt aus dem Summenzeichen mit n+1 kommen, ich kann aber nicht herausfinden wie.

---

Summe von 1 bis n+1 = (Summe von 1 bis n) + (Summand für i=n+1).

Übe nochmal einfache Aufgaben für das Summenzeichen, bevor Du Induktion damit machst. Die meisten Probleme mit dem Summenzeichen verschwinden, wenn man es ausschreibt - es ist ja nur ein Abkürzungssymbol.