Bedeckung eines gelochten Quadrates

Question

Ein Objekt dieser Form (Trimino genannt) deckt genau drei Felder eines Schachbrettes ab:

Kann man ein quadratisches Schachbrett mit n×n Feldern (n ist nicht durch 3 teilbar), dem genau ein Feld an beliebiger Stelle fehlt, in jedem Falle vollständig mit Triminos bedecken? Beweise deine Antwort.

Comments

Nein, weil 102 nicht durch 6 teilbar ist.

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Nein, weil 102 nicht durch 6 teilbar ist.

102: 6= (60+42):6 = 10+7 = 17

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Eine Zahl ist durch 6 = 2·3 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.

102 ist eine gerade Zahl und hat die Quersumme 3. Damit ist sie offensichtlich durch 2 und durch 3 teilbar.

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Die Antwort 'Nein' ist zutreffend. Die Begründung ist wieder sehr kryptisch.

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Nicht nur kryptisch, sondern falsch.

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Das Maximum der Kryptik scheint noch nicht erreicht zu sein.

Ob wir mit Erlösung rechnen dürfen?

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Also für ein 2x2 Quadrat stimmt es. Für ein 4x4 Quadrat auch. Bei einem 5x5 Quadrat habe ich schon Schwierigkeiten, wenn das Quadrat an bestimmten Stellen fehlt. Da muss ich noch probieren.

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Mathecoach, du hast mit dem 5×5-Quadrat dasjenige gefunden, das sich nicht für jede 'Lochung' mit Triminos belegen lässt. Deshalb ist die Antwort von hj2166 richtig und seine Begründung dazu in jeder Hinsicht falsch.

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Nachdem MC keinen Beweis vorgelegt hat, hier eine schnelle (hoffentlich nicht wieder zu schnelle) Skizze :

Man stelle sich das 5x5-Brett wie folgt mit Werten belegt vor :

2	1	2	1	2
1	2	1	2	1
2	1	2	1	2
1	2	1	2	1
2	1	2	1	2

Der Gesamtwert beträgt 38 und wenn ein Feld mit Wert 1 entfernt wird noch 37.
Jedes Trimino bedeckt Felder im Gesamtwert von entweder 4 oder 5.
Bei x Vierern und y Fünfern ergeben sich also die Gleichungen x+y = 8 und 4x + 5y = 37 mit der Lösung x=3 und y=5.

Damit ein Trimino den Wert 5 erreicht, muss es zwei diagonal liegende Zweien bedecken.
Eine dieser beiden Zweien muss eine der grün gedruckten sein, davon gibt es aber nur vier Stück.

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@Gast hj2166

Sehr schöne Erklärung. Das habe sogar ich verstanden und genau auf die Positionen (die noch nicht alle benannt wurden) kam ich auch für die Felder, die man nicht entfernen darf.

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Das Loch (weiß) kann im 5×5-Quadrat nur in der Mitte (Bild 1) oder an einer Seite (Bild 2) liegen. Da ein Quadrat 4 Seiten hat, gibt es für das Loch nur 5 von 25 Möglichkeiten.