Bestimmung Span von einer matrix

Question

Aufgabe:

Ist span((-1,0,0,1)',(1,-1,1,0)') und span((-1,1,-1,0)',(1,0,0,-1)') gelten gleich. Sie sind vielfacher von einander

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Die Poesie des Fragezeichens. Ein Opus in zwei Akten für Posaune und Banane.

Answer 1

Wenn ich das richtig verstehe, geht es um die Vektoren $$v:=(-1,0,0,1)^T, \quad w:=(1,-1,1,0)^T$$

Die Behauptung ist, dass span(v,w)=span(-w,-v) ist. Das ist aber trivial. Denn wenn x=sv+tw eine Linearkombination aus v und w ist, dann ist x=(-t)(-w)+(-s)(-v) auch eine Linearkombination aus -w und -v. Und umgekehrt.

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das war was ich meinte, vielen dank! :)

Answer 2

Du weisst, beide Mengen sind zweidimensional, d.h. also sie sind schon mal aus derselben Dimension.

Prüfe nun einfach, ob die Basisvektoren der einen Menge in der anderen liegen und umgekehrt (dafür löst du die entsprechenden LGS). Da beide Mengen lineare Unterräume des |R^4 sind, folgt dann schon bereits das auch jegliche Linearkombinationen der Basisvektoren dann auch in den Mengen liegen.

Mit der Dimension oben, folgt dann die Gleichheit.

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(dafür löst du die entsprechenden LGS

Welche meinst Du bei dieser Frage?

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Ja, das LGS um die Koeffizienten zu bestimmen, in dem der jeweilige Vektor aus der einen Menge mit den Basisvektoren der anderen Menge kombiniert werden kann.