Mengenlehre Rechenregeln Term-Umwandlung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie:
(A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man einen der beiden Terme so umformen kann dass der andere rauskommt

Comments

gelöschter Kommentar.

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Du sollst hier .. nichts umformen
Mengen .. die du nicht umformen kannst

Das ist nicht richtig.

Benutze  A \ B = A ∩ B^C sowie Distributivgesetz und deMorgan.

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du hast Recht, ich habe mich vertan.

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wie macht man das?

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zur Veranschaulichung hilft ein Venn-Diagramm

einfaches Beispiel:

A = {1,2,3}

B = {2,3,4}

A\B = {1}

B\A = {4}

Beides vereinigt zu V = {1,4} = A∪B ohne A∩B

In Worten: Vereinigungsmenge aus A und B abzüglich ihrer Schnittmenge

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Dass die Aussage gilt, ist häufig schnell ersichtlich. Die Problematik liegt hier aber in einem sauberen Beweis. Beweise via Venn-Diagramm werden regelmäßig mit 0 Punkten bewertet.

Das geht entweder über die direkte Umformung mit Hilfe der Rechenregeln oder indem man die Inklusionen \(\subseteq\) bzw. \(\supseteq\) zeigt, also für \(x\in (A\setminus B) \cup (B\setminus A)\) folgt \(x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)\) und umgekehrt.

Answer 1

wie macht man das?

Vielleicht wie folgt:

(A \ B) ∪ (B \ A)

(A ∩ B^C) ∪ (B ∩ A^C)

(A ∪ B) ∩ (A ∪ A^C) ∩ (B^C ∪ B) ∩ (B^C ∪ A^C)

(A ∪ B) ∩ (B^C ∪ A^C)

(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)^C

(A ∪ B) \ (A ∩ B)

Comments

Als Kind hat man mich angehalten, in ganzen Sätzen zu sprechen. Ist es wirklich zuviel Mühe, zwischen diese Formelschnipsel ein Gleichheitszeichen zu setzen?

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Wie nennt man die regeln mit denen man umformt?
ich verstehe zum Beispiel nicht wie man von
(A \ B) ∪ (B \ A) auf
(A ∩ nB) ∪ (B ∩ nA) kommt.

Die weiter Schritte verstehe ich auch nur schwer. Wie nennt man diese Regeln um umformen und wo kann man das erlernen am besten?

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Eigentlich lernt man sowas in seinem Kurs, Vorlesung, was auch immer. Und dazu gibt es in der Regel unterlagen. Häufig gibt es auch Literaturhinweise...

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ja ich bin aber nicht mitgekommen und die literaturhinweise waren auch nur semi-hilfreich :(

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nB bedeutet bei mir nicht B

A \ B bedeutet A ohne B, dass bedeutet aber auch A geschnitten mit allem, was nicht B ist.

Die Gesetzmäßigkeiten wirst du doch irgendwo notiert haben oder nicht? Wenn nicht schreibe Sie von der Seite

https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten

ab.

Was für dich wichtig wäre, dass du dir die Gesetze auch an Venn-Diagrammen visualisierst.

Wenn du lieber Youtube schaust kannst du dort auch mal nach deinem Lieblings-Mathe-Youtuber suchen

https://youtu.be/erA8QlY_11M

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ja ich bin aber nicht mitgekommen und die literaturhinweise waren auch nur semi-hilfreich :(

Dann arbeitet man das nach. Wenn du studierst, wirst du da auch nicht drumherum kommen. Nennt sich Selbststudium. Am Anfang ist es völlig normal, dass man nicht gleich alles auf Anhieb versteht. Deswegen muss man sich damit auseinandersetzen. Und dass die Literaturhinweise nicht hilfreich sind, kann ich mir nicht vorstellen.

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nB bedeutet bei mir nicht B

Dann hat es bei Mengenoperationen nichts zu suchen.

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nB ist besser die Komplementärmenge von B.

Sie enthält alle Elemente, die die nicht in B enthalten sind.

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Wäre ja auch so schwierig, einfach B^C zu schreiben. Gerade bei Studienanfängern halte ich eigene Notationen aus Bequemlichkeitsgründen für wenig sinnvoll, auch wenn man sie im Nachhinein noch erläutert.

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Ich habe das in meiner Antwort verbessert und mit dem Komplement notiert.

Answer 2

Die Grundregel bei Umformungen heißt "gleiches darf durch gleiches ersetzt werden".

Du hast schon den Tipp bekommen: \( A \setminus B = A \cap B^C\) (finde das in Deinen Unterlagen!). Die Regel kann man natürlich auch mit \(B\setminus A=...\) anwenden.

Ersetze also erstmal, links beginnend, gemäß dieser Regel - Zeichen für Zeichen (nichts weglassen, nichts hinzufügen).

Wie sieht dann der Anfang Deiner Umformung aus?