Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsmaße

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω.P ) und Ereignisse A, B ⊂ Ω mit P (A) = 0.8, P (B) = 0.6 und P (A ∩ B) = 0.5. Berechnen Sie:

a) P(A^C ∪ B^C)

b) P(A^C ∩ B^C)

c) P(A ∩ B^C)

d) P(A^C ∩ B)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass P(A^C) = 1-P(A) gilt. Sowie: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

zu a): P(A^C ∪ B^C) = (1-P(A)) + (1-P(B)) - (1- P(A ∩ B)) = 0.2 + 0.4 - 0.5 = 0.1

zu b): P(A^C ∩ B^C)  = (1- P(A ∩ B)) = 0.5

zu c) (analog d)):  P(A ∩ B^C) = ???

Ich bin mir sehr unsicher zu meinen Lösungen von a) und b). Bei c) fehlt mir die Idee. d) dürfte analog zu c) zu lösen sein.

matheJunior

Answer 1

Aloha :)

$$P(A^\complement\cup B^\complement)=P((A\cap B)^\complement)=1-P(A\cap B)$$$$P(A^\complement\cap B^\complement)=P((A\cup B)^\complement)=1-P(A\cup B)=1-(P(A)+P(B)-P(A\cap B))$$$$P(A\cap B^\complement)=P(A)-P(A\cap B)$$$$P(A^\complement\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$$Unter dem Stichwort "totale Wahrscheinlichkeit" findest du Details.

Comments

Beim ersten und zweiten meinst du bestimmt A ∪ B (nicht A ∪ C).

Und warum wechselt das ∪ zu einem ∩?

Grüße!

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Opps, ja klar... ich korrigiere das noch schnell.

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Top! (Hab beim ersten Kommentar noch was hinzugefügt)

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Das sind die sehr wichtigen Regeln von "de Morgan":

https://de.wikipedia.org/wiki/De-morgansche_Gesetze

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Ach richtig, da war mal was... danke!

Answer 2

Mit einem Venn-Diagramm kann man Zusammenhänge wie diesen gut ablesen: $$P(B)=P(A \cap B)+P(A^{C} \cap B)$$

Hierbei meint \(A^C=\Omega \setminus A\)