Rechenregeln mit log beweisen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 2 (8 Punkte). Beweisen Sie die Rechenregeln in Satz 13.2.2(iv)-(vi), beweisen Sie also
(a) Für alle \( x, y>0 \) gilt
(4P.)
\( \log (x y)=\log (x)+\log (y) . \)
(b) Es gilt \( \log (1)=0 \) und \( \log (e)=1 \).
(2P.)
(c) Für alle \( x>0 \) gilt
(2P.)
\( \log \left(\frac{1}{x}\right)=-\log (x) \)

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Regeln und sie machen ja auch Sinn, aber wie kann ich diese beweisen? Ich weiß das sich log und exp gegenseitig aufheben. Kann ich das hier irgendwie verwenden?

Answer 1

\( \log (x y)=\log (x)+\log (y)  \)

Sei a=log(x)  und b= log(y )

==>   \( e^a = x \) und   \( e^b = y \)

==>     \(  x \cdot y =  e^a \cdot  e^b = e^{a+b} \)

Also a+b = log(x*y)