Kombinationen bilden von Buchstaben (Auto-Kennzeichen)? 4-Tupel?

Question

Der Fuhrpark der Gesellschaft SaarToto besteht aus drei Autos und zwei Bussen. Die drei Autos, die im Besitz der SaarToto sind, haben verschiedene Kennzeichen, die entweder in der Mitte den Buchstaben A,R oder S haben. Die zwei Busse, die im Besitz der SaarToto sind, haben ebenfalls verschiedene Kennzeichen, die entweder in der Mitte den Buchstaben T oder 0 haben. An einem jeden Tag müssen zwei Angestellte mit einem Auto und einem Bus einmal zu einer Außendienststelle der Gesellschaft fahren und wieder zurück, um Post und Personal zu transportieren. Die beiden Angestellten wählen dabei rein zufällig eines der drei Autos bzw. einen der beiden Busse für ihre Fahrt aus. Wir beobachten die beiden Fahrzeuge an 4 verschiedenen Tagen und notieren uns den Buchstaben in der Mitte des Kennzeichens auf den beiden Fahrzeugen.

Runden Sie die Ergebnisse, falls nötig, auf vier Nachkommastellen.

1. Wieviel verschiedene 4-Tupel kann man aus den beobachteten und notierten Buchstaben auf den Kennzeichen der Autos insgesamt bilden? (Lücke 1)

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man 0-mal ein S notiert? (Lücke 2)

3. Wieviel verschiedene 4-Tupel kann man aus den beobachteten und notierten Buchstaben auf den Kennzeichenn der Busse insgesamt bilden? (Lücke 3)

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man 4-mal ein T notiert? (Lücke 4)

5. Nehmen Sie nun an, dass die Busse 8-mal fahren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 0-mal das Wort TOTO aus den beobachteten und notierten Buchstaben der Busse bilden zu können? (Lücke 5)

DANKE!

 

PS: Kann mir bitte auch jemand einfach erklären, was Tupel etwa bedeutet?

Answer 1

Also, ein Tupel ist die Verallgemeinerung eines geordneten Paars. Man notiert das ganze z.B. in Zeilenschreibweise als (x,y,z), das ist dann ein 3-Tupel (Tripel).

Entscheidend ist also auch die Reihenfolge, d.h. es handelt sich um einen Zufallsversuch "mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge".

Wie nahezu jede Aufgabe aus dem Feld der Stochastik, finde ich auch diese wahnsinnig ungenau.

a) Wählen die Mitarbeiter jeden Tag zwei unterschiedliche Fahrzeuge? Oder kann es auch sein, dass das gleiche Auto an einem Tag zweimal gefahren wird?
b) Wählen sie jeden Tag zwangsläufig ein Auto und einen Bus? Wie ist dann Aufgabe (5) möglich?
c) Wenn insgesamt 8 Autos fahren, warum soll man dann testen, wieviele 4-Tupel es gibt? Sollen etwa die einzelnen Objekte der Tupel jeweils einen Tag repräsentieren und daher aus zwei Elementen bestehen?
 

Alles in allem sieht das so aus, als würden eigentlich jeden Tag genau ein Auto und genau ein Bus fahren und nur für den letzten Aufgabenteil soll diese Annahme fallen gelassen werden.

 

1.) Es gibt insgesamt 3 Wahlmöglichkeiten (A, R und S) aus denen vier Mal gewählt wird, also ist die Anzahl der Kombinationen 3⁴=81

2.) Dafür muss man die Kombinationen finden, die kein S enthalten. Das sind:
(A,A,A,A)

(A,A,A,R), (A,A,R,A), (A,R,A,A), (R,A,A,A)

(A,A,R,R), (A,R,A,R), (R,A,A,R), (A,R,R,A), (R,A,R,A), (R,R,A,A)

(A,R,R,R), (R,A,R,R), (R,R,A,R), (R,R,R,A)

(R,R,R,R)

Also insgesamt 16 Möglichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt

16/81 ≈ 19,7531%

 

3.) Für die Busse gibt es nur zwei Auswahlmöglichkeiten, also lautet die Anzahl 2⁴=16

4.) Es gibt nur eine einzige Kombination, die vier T enthält (nämlich (T,T,T,T)) also ist die Wahrscheinlichkeit

1/16 = 6,25%

5.) Dafür muss man ein bisschen überlegen, wann man denn das Wort TOTO bilden kann: man braucht zwei T's und zwei O's. Das heißt, die einzigen Möglichkeiten, bei denen das nicht geht, sind die, die weniger als zwei O's oder weniger als zwei T's enthalten.

Das sind:
(T,T,T,T,T,T,T,T)

8x(O,T,T,T,T,T,T,T) wobei das O jeweils eine Stelle weiterrutscht

8x(T,O,O,O,O,O,O,O) wobei das T jeweils eine Stelle weiterrutscht

(O,O,O,O,O,O,O,O)

Es gibt also insgesamt 18 Möglichkeiten, bei denen das nicht geht.

Insgesamt gibt es 2⁸=256 Möglichkeiten, also beträgt die Wahrscheinlichkeit:

18/256 = 7,0313%