Reihenfolge der Transformation von Funktionen

Question

Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Reihenfolge von Transformationen bei Funktionen.
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 , die in die Funktion g(x) = 2(x - 3)^2 - 4  transformiert wird.
Wie kann ich erkennen, in welcher Reihenfolge die einzelnen Transformationen (z.B. Verschiebungen, Streckungen) durchgeführt wurden?

Answer 1

\(g(x) = a\cdot f(b\cdot x - c)+d\)

Die Funktion \(f\) wird

1. um \(c\) horizontal verschoben,
2. mit dem Faktor \(\frac{1}{b}\) horizontal gestereckt,
   
3. mit dem Faktor \(a\) vertikal gestereckt,
   
4. um \(d\) vertikal verschoben.
   

In dieser Reihenfolge.

Answer 2

Bei Verschiebungen ist die Reihenfolge egal. Meist ist es aber sinnvoll, erst zu strecken und dann zu verschieben.

\( f(x)=x^2 \).

Streckung mit 2 in \(y \)-Richtung:

\( f(x)=2x^2 \)

Verschiebung um 3 nach rechts und 4 nach unten:

\( f(x)=2(x-3)^2-4 \)

Es geht aber auch Folgendes:

Verschiebung um 3 nach rechts und 2 nach unten:

\( f(x)=(x-3)^2 - 2 \)

Streckung um 2 in \(y \)-Richtung:

\( f(x)=2 \big((x-3)^2 - 2 \big) = 2(x-3)^2-4 \)

Du siehst, die Reihenfolge ist unterschiedlich. Das führt aber dazu, dass die Verschiebung sich ebenfalls ändert.

Answer 3

Schau was mit dem \(x\) passiert, wie rechnet man von einem \(x\) zum \(f(x)\) durch? Hier: zuerst \(-3\), dann quadrieren, dann \(\cdot 2\), dann \(+4\). Wenn man den Term anders schreibt, findet man auch Varianten.