Injektivität und Surjektivität. Der Hinweis "Reihenfolge der Funktionen ist hier wichtig." verwirrt mich eher.

Question

ich verzweifle hier mit der Aufgabe. Hat jemand Zeit und Lust, mir zu helfen?

g : Y steht doch in Abhängigkeit zu f : X, richtig?

Seien   f : X → Y   und   g : Y →  Z    zwei Funktionen.

a) Zeigen Sie, dass f injektiv ist, falls g ◦ f injektiv ist.

b) Zeigen Sie, dass g injektiv ist, falls g ◦ f injektiv und f surjektiv sind.

Hinweis: g ◦ f bezeichnet die Komposition (Verkettung) der Funktionen g und f, d.h. (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Die Reihenfolge der Funktionen ist hier wichtig.

Answer 1

g : Y steht doch in Abhängigkeit zu f : X, richtig?

Verstehe deine Frage nicht so ganz, das heißt doch nur:

Es gibt zwei Abbildungen:  Mit f wird jedem Element von X

eines von Y zugeordnet und mit dem g wird jedem

Element von Y eines von Z zugeordnet.

Deshalb  macht sowas wie gof überhaupt Sinn:

Dadurch wird jedem  Element von X  eines von Z zugeordnet.

Und Injektiv heißt ja:

Es wird nie zwei verschiedenen Elementen das

gleiche Bild bzw. der gleiche Funktionswert zugeordnet.

Zum Beweisen ist es meistens einfacher so zu

argumentieren:  Wenn man zwei Elemente a und b  hat,

denen das gleiche Bild zugeordnet wird, dann sind

auch a und b schon gleich gewesen.

Bei deiner 1. Aufgabe könnte das so gehen:

Es seien a,b ∈ X  mit f(a) = f(b)

[ Jetzt muss man irgendwie die Voraussetzung

gof Injektiv ein bauen um auf a=b schließen zu

können. Das könnte so gehen:]

f(a) = f(b)  ==>   g(f(a)) = g(f(b) )

[ Denn wenn man eine Abbildung auf zwei gleiche

Elemente anwendet, sind auch die Ergebnisse gleich.]

        ==>  (gof)(a) = (gof)(b)

Da gof aber als Injektiv vorausgesetzt ist:

       ==>     a = b .                 Bingo!

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Danke auch dir für die schnelle Hilfe und ausführliche Erklärung.

Ja habe meine Frage etwas doof gestellt, wusste nicht so richtig wie ich mich ausdrücken sollte.

Jetzt ist mir auf jeden fall einiges klarer geworden (:

Answer 2

Der Hinweis definiert, was o bedeutet.

a) z.z.: g o f inj ⇒ f inj

Bew: angenommen f nicht inj. obwohl g o f  inj.  ⇒ ∃ y∈Y mit mehr als einem Urbild. Die Urbilder seien x₁, x₂∈X, x₁≠x_2.

⇒ g(f(x₁)) = g(y) und g(f(x₂)) = g(y) mit x1≠x2. Also hat g(y)∈Z 2 verschiedene Urbilder in X. Das ist ein Widerspruch zur Inj von g o f.

Also ist die Ann. falsch, also der Satz richtig.

b) analog

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Vielen Dank für deine Erklärung.

Beim Hinweis verwirrt mich einfach der zweite Satz mit der Reihenfolge. Bei der injektivität hatte ich zwar die Definition, konnte aber nicht viel damit anfangen. Jetzt, da ich es vor meinen Augen habe, macht es Sinn.

Merci (:

Answer 3

Hinweis: g ◦ f bezeichnet die Komposition (Verkettung) der Funktionen g und f, d.h. (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Diese Art von Hinweis ist zentral. Sonst weiss man nicht, was zu tun ist. Und v.a. in welcher Reihenfolge man etwas tun soll.

Wenn die Schule aus ist, heisst es "Sachen" "zusammenpacken" und "aus dem Schulhaus tragen".

Das kannst man schreiben als

"Sachen" "zusammenpacken" ° "aus dem Schulhaus tragen".

oder

(zusammenpacken ° tragen) (sachen)

oder

 (tragen ° zusammenpacken) (sachen)

je nach Definition der Reihenfolge mit der die blauen "Funktionen" ausgeführt werden sollen.

Gemäss eurem Hinweis musst du schreiben: (tragen ° zusammenpacken) (sachen)

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Ich danke dir für die anschauliche und verständliche Erklärung !!

Hat mir sehr geholfen (: