Injektivität, Surjektivität bzw. Bijektivität

Question

Hallo.

Wie löse ich diese Aufgabe?

 Wir betrachten zwei Funktionen \( f: A \longrightarrow B \) und \( g: B \longrightarrow A \)
a) Angenommen, für alle \( s \in A \) gilt \( g(f(s))=s . \) Zeigen Sie anhand der Definition: \( f \) ist injektiv.
b) Angenommen, für alle \( t \in B \) gilt \( f(g(t))=t . \) Zeigen Sie anhand der Definition: \( f \) ist surjektiv.
c) Geben Sie ein Beispiel für Mengen \( A \) und \( B \) und Funktionen \( f: A \longrightarrow B \) und \( g: B \longrightarrow A \) an, so dass einerseits \( f(g(t))=t \) für alle \( t \in B \) gilt, jedoch andererseits \( g(f(s))=s \) nicht für alle \( s \in A \) gilt.

Comments

Hallo

korrigier mindestens den Unsinn, den dein Autokorrektur mit der Überschrift gemacht hat!

hast du mal versucht die Def. anzuwenden? denk daran, dass da steht für ALLE s

Gruß lul

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Hallo Lu,

Dein Wusch war mir Befehl :-)

Tanne 07  kann das nach einer gewissen Zeit nicht mehr.

Wusstest du nciht, das du das als Moderatorin auch selbst machen kannst?

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@Wolfgang: Welcher Wunsch?

Man kann immer Kommentare mit korrekter Orthographie schreiben.

Treffende Überschriften und Tags sind immer wichtig. Hast du kontrolliert, ob Tanne07 nicht schon wieder ein Duplikat eingestellt hat?

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@Lu  Sorry, Ich wollte eigentlich nicht Lu sondern lul  ansprechen :-)

Answer 1

Angenommen, für alle s∈A gilt g(f(s))=s. Zeigen Sie anhand der Definition: f ist injektiv.

Die Def. sagt :  f injektiv <=>  Für alle u,v ∈ A gilt f(u)=f(v) ==>   u=v

[ Oder die äquivalente Formulierung u≠v ==> f(u)≠f(v) ]

Seien also u,v ∈ A   mit  f(u) = f(v)  wegen der Eindeutigkeit von Abbildungen:

                ==>   g(f(u)) =  g(f(v))    nach Vor. also

                ==>    u = v.           q.e.d.