Noch nicht vollständig, aber vielleicht hilfreich:
Zu zeigen ist: \(g=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{a^h-1}{h}= \ln a\) bzw. \(e^g =a\)
\(x=\dfrac{a^h-1}{h}\)
\(a^h=1+xh\)
Ersetze \(h\) durch \(\dfrac{1}{n}\):
\(a^{1/n}=1+\frac{x}{n}\)
\(a=(1+\frac{x}{n})^n\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x\)