Wie bestimmt man den Grenzwert einer natürlichen Exponentialfunktion (Beispielaufgabe gegeben)?

Question

ich verstehe nicht, wie man die Grenzwerte bei der natürlichen Exponentialfunktion und bei der natürlichen Logarithmusfunktion bestimmt.

Beispiel:

lim_x->unendlich lnx/x = 0

lnx und x gehen ja gegen + unendlich. kommt 0 raus, weil sich + unendlich mit + unendlich kürzt. Stimmt das?

lim_x->0 lnx/x = - unendlich

lnx geht gehen - unendlich, x gegen 0. Warum kommt tzd - unendlich raus?

Lg und Danke für alle Antworten.

Answer 1

"lnx und x gehen ja gegen + unendlich. kommt 0 raus, weil sich + unendlich mit + unendlich kürzt. Stimmt das?" Das stimmt nicht. "Unendlich" ist keine Zahl. Ein Rechnen mit Unendlichist nicht Teil der normalen Mathematik. Im Übrigen käme ja auch 1 heraus, wenn Zähler und Nenner gleich sind. Vielmehr ist es so, dass x sehr viel schneller wächst als lnx. Daher wird der Nenner beiebigfach größer als der Zähler. Und deshalb geht der Bruch gegen Null.

Answer 2

Wende den L'Hospital an.

lnx /x ist nur in R+ definiert.

Answer 3

lim_x->unendlich lnx/x = 0

lnx und x gehen ja gegen + unendlich. kommt 0 raus,
weil sich + unendlich mit + unendlich kürzt. Stimmt das?

Nein. Wenn ich a / a kürze kommt 1 heraus und nicht 0.

Hier ist der Fall etwas anders.
Es kommt deshalb 0 heraus weil x schneller wächst als ln(x)

~plot~ x ; ln ( x ) ~plot~

ln ( x ) / x geht gegen 0.

Falls du L´Hospital kennst

[ ln ( x ) ] ´ / [  x  ] ´ = ( 1/x ) / 1 = 1 / x
lim_x->unendlich [ 1 / x ]  = 0

2.)
im_x->0 lnx/x = - unendlich

lnx geht gehen - unendlich, x gegen 0. Bis hierhin richtig.
Warum kommt tzd - unendlich raus? Falsch

1 / 1 = 1
1 / 0.1 = 10
1 / 0.01 = 100
...
lim x −> 0  [ 1 / x ]  = ∞

Durch 0 zu teilen ist möglich. Geht x gegen 0 dann wird der Bruch unendlich.

100 / 0 = ∞
10 / 0 = ∞
1 / 0 = ∞
-1 / 0 = - ∞
auch
lim_x->0  lnx / x = - ∞ / 0 = - ∞

Answer 4

lim_x->unendlich lnx/x 

eine Möglichkeit den Grenzwert zu finden,ist ln(x)=y zu setzen. Es folgt x=e^y

Wenn x -_> unendlich geht, geht auch y gegen unendlich (weil ln(x) monoton wächst)

--> lim_x->unendlich lnx/x =lim_{y->unendlich y/e^y}

_{Im Unterricht solltet ihr mal besprochen haben, dass die EXponentialfunktion stärker wächst als jede Potenzfunktion.}

_-->lim_{y->unendlich y/e^y=0, weil der Nenner im Grenzwert viel größer ist als der Zähler}

_{Dasselbe geht auch bei dem zweiten Beispiel.}

lim_x->0 lnx/x=lim_y-->-∞  y/e^y=lim_y-->-∞  y*e^{-y}=-∞, weil beide Faktoren betragsmäßg wachsen und y negativ ist