Wie bestimmt man hier den Grenzwert (Fakultät)

Question

Bestimme \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{n!}{n^n} \)

Ich weiß nicht wie ich hier vor gehen muss, könnte mir hier vielleicht jemand helfen?

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Eventuell beweisen, dass \(n^n\) schneller wächst als \(n!\).

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Achtung, Fangfrage !

Es ist   n! / n^n  =  n/n * (n-1)/n * (n-2)/n * ... * 3/n * 2/n * 1/n

Der Grenzwert der ersten drei Faktoren für n -> ∞ ist 1, der Grenzwert der letzten drei Faktoren ist 0. An welcher Stelle springt das um, oder gibt es einen langsamen Übergang und irgendeiner der Faktoren hat mal den Grenzwert  1/2  ?

Answer 1

Zerlege den Term mal in ein Produkt von Einzelbrüchen:

...=(1/n)*(2/n)*(3/n)*...*(n-1)/n * n/n

Den ersten Faktor kannst du auch rausziehen:

...=(1/n)* [(2/n)*(3/n)*...*(n-1)/n * n/n]

Siehst du jetzt klarer?

Comments

Es ist natürlich klar das n^n schneller wächst als n!. Mein Problem besteht darin wie ich das anschreibe bzw. zeige. Mein Ansatz wäre

\( \frac{n}{n} \)  * \( \frac{n-1}{n} \) * .... * \( \frac{1}{n} \) ⇒ 0

Darf ich das so hinschreiben?

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Hinschreiben kannst du alles.

Aber du musst schon begründen, WARUM das gegen Null geht.

Den Ansatz dazu habe ich dir eigentlich geliefert.