Grenzwert von Exponentialfunktion gesucht

Question

Aufgabe:

Ich suche die Herleitung von
$$\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=ln (a)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, die Exponentialfunktion über den Differentialfunktionen abzuleiten, verstehe aber die Grenzwertbildung zu ln (a) nicht. Für eine entsprechende Hilfe oder einen Link wäre dankbar.

Comments

Ohne deinen bisherigen Kenntnisstand zu kennen, lässt sich die Frage nicht sinnvoll beantworten.

Answer 1

lim h -> 0 ( a^h - 1 ) / h = 0/0
l´hospital
( a^h - 1 ) ´  = a^h * ln(a)
h ´= 1

lim h -> 0 [ a^h * ln(a) / 1 ] = 1 * ln(a) = ln(a)

Comments

Aber da beißt sich doch die Katze in den Schwanz.

Ich möchte elementar ableiten über den Differentialquotienten. Da darf ich doch nicht  die Regel von l'hospital abwenden. Oder anders herum gefragt: Wie komme ich von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite. 

( a^h - 1 ) ´  = a^h * ln(a)

Ich möchte eben verstehen, wie man auf die Ableitungsregel von Exponentialfunktionen kommt.

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Schreib doch, worum es geht, statt einfach den Limes eines Terms zu suchen.

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Aber da beißt sich doch die Katze in den Schwanz.

Ich möchte elementar ableiten über den Differentialquotienten. Da darf ich doch nicht  die Regel von l'hospital abwenden.

Das ist in der Tat richtig. Die Regel von l'Hospital setzt die noch zu zeigende Differenzierbarkeit bereits voraus und darf daher hier nicht angewendet werden.

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( a^h - 1 ) ´  = a^h * ln(a)
Ich möchte eben verstehen, wie man auf die Ableitungsregel von Exponentialfunktionen kommt.

Es wird verwendet
[ e^term ] ´ = e^term * ( term ´ )

Dein Beispiel

Answer 2

Betrachte die Funktion f(x)=a^x. Dann ist f '(x) einerseits ln(a)·a^x und andererseits \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{a^x(a^h-1)}{h} \). Der Vergleich dieser beiden Ergebnisse bringt die gesuchte Herleitung.

Answer 3

Aloha :)

$$\frac{a^h-1}{h}=\frac{e^{\ln\left(a^h\right)}-1}{h}=\frac{e^{h\ln a}-1}{h}=\frac{1+(h\ln a)+\frac{1}{2}(h\ln a)^2+O(h^3)-1}{h}$$$$\phantom{\frac{a^h-1}{h}}=\ln a+\frac{1}{2}h\ln^2a+O(h^2)\to\ln a$$

Comments

Was hast du da gemacht? Was ist O?

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Ich habe die Potenzreihe für die e-Funktion eingesetzt und alle Summanden der Ordnung O(h³) nur angedeutet, weil sie nach Division druch h und durch die folgende Grenzwert-Bildung am Ende rausfallen.

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Danke, aber das übersteigt meinen Mathe-Level. 

Answer 4

Noch nicht vollständig, aber vielleicht hilfreich:

Zu zeigen ist: \(g=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{a^h-1}{h}= \ln a\) bzw. \(e^g =a\)

\(x=\dfrac{a^h-1}{h}\)

\(a^h=1+xh\)

Ersetze \(h\) durch \(\dfrac{1}{n}\):

\(a^{1/n}=1+\frac{x}{n}\)

\(a=(1+\frac{x}{n})^n\)

\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x\)