Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Graphen K von f und G von g.

Question

Fragestellung:

Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Graphen K von f und G von g. Untersuchen Sie dabei die Lage der beiden Parabeln zueinander.

Die Funktionen lauten:

f(x)=-x^2+3x-1,5

g(x)=2,5-x-x^2

Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Parabeln. Ich habe den Schnittpunkt S(1|0,5) bereits durch gleichsetzen berechnet.

Meine Frage ist nun: Wie kann ich ohne eine graphische Darstellung feststellen, ob sich die beiden Parabeln schneiden oder nur berühren?

Normalerweise gilt:

• Wenn die Diskriminante größer als null ist, schneiden sich die Graphen an zwei Punkten.
• Wenn die Diskriminante gleich null ist, berühren sich die Graphen.
• Wenn die Diskriminante kleiner als null ist, gibt es keine gemeinsamen Punkte.

In diesem Fall lässt sich jedoch keine Diskriminante anwenden, da sich beim Gleichsetzen der beiden Funktionen das x^2 wegkürzt.

Wie kann ich in diesem Fall systematisch vorgehen, um herauszufinden, ob die Graphen sich schneiden, berühren oder keinen gemeinsamen Punkt haben?

Comments

Wie kann ich ohne eine graphische Darstellung feststellen

Man mache sich die graphische Darstellung im Kopf und stelle fest, dass wegen des gemeinsamen Formfaktors (hier : a = -1) die Parabeln durch Verschiebung auseinander hervorgehen, weswegen sie sich nicht berühren können.
Und da b_f = 3 ≠ b_g = -1 liegt keine Verschiebung in y-Richtung vor (dann gäbe es keinen Schnittpunkt).

Answer 1

Du kannst ja auch für beide Parabeln die Steigung in dem gemeinsamen Punkt berechnen durch die Ableitung.

Wenn also f ' (1) = g ' (1) gilt, dann berühren sie sich in dem Punkt.

Das ist aber hier nicht der Fall.

Comments

Es ist sehr fraglich, ob Differentialrechnung schon behandelt wurde.

Answer 2

Aloha :)

Die Nullstellen von \(\red{f(x)}\) lauten:$$\red{x_1\approx0,63}\quad;\quad \red{x_2\approx2,37}$$Die Nullstellen von \(\green{g(x)}\) lauten:$$\green{x_1\approx-2,16}\quad;\quad \green{x_2\approx1,16}$$Daher gilt:$$\green{x_1}<\red{x_1}<\green{x_2}<\red{x_2}$$

Die beiden Parabeln schneiden sich daher im Punkt \(S\).

Answer 3

Wie kann ich ohne eine graphische Darstellung feststellen, ob sich die beiden Parabeln schneiden oder nur berühren?

- x^2 + 3x - 1.5 = 2.5 - x - x^2
4·x - 4 = 0

x = 1 ist eine einfache Nullstelle und damit handelt es sich um eine Schnittstelle. Bei einer doppelten Nullstelle würden sich die Parabeln sich berühren. Da die Parabeln den gleichen Öffnungsfaktor haben und durch Verschiebung auseinander hervorgehen kann es keine Berührstelle geben.

x^2 + x = - x^2 + x
2x^2 = 0

Jetzt wäre x = 0 eine doppelte Nullstelle und damit der gemeinsame Punkt eine Berührstelle.