Parameterdarstellung und Polarkoordinaten einer Kurve bestimmen

Question

Aufgabe:

Eine algebraische Kurve c in der Ebene ist durch die Gleichung (x²+y²)²−ax(x²−3y²) = 0, a ∈ R gegeben. Diese Kurve heißt dreiblättrige Rosenkurve und besitzt einen Dreifachpunkt im Ursprung.

• Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung von c. Schneiden Sie dafür die Kurve mit Geraden durch den Ursprung und verwenden Sie die Darstellung von c in Polarkoordinaten.

Problem/Ansatz:

Ich habe c in Polarkoordinaten umgerechnet, indem ich für x = r cos φ und für y = r sin φ in die Gleichung eingesetzt habe. Hier erhalte ich:

r = 4a cos³φ - 3a cosφ.

Ich hoffe das ist soweit richtig, ich verstehe jetzt nur nicht wie ich auf die Parameterdarstellung kommen soll?

Vielen Dank!

Answer 1

Das sieht doch gut aus. Mittels \(\cos 3\varphi = 4\cos^3 \varphi-3\cos \varphi\) kannst Du das noch etwas schöner schreiben.

Zur Parameterdarstellung gelangst Du über

\(x=r\cos \varphi = a\cos (3\varphi)\cos \varphi\) und \(y=...\) und dann hast Du auch genau die Parameterdarstellung, die bei wikipedia steht. \(\varphi\) ist der Parameter.

Genauso könntest Du auch mit der von Dir gefundenen Form für \(r\) vorgehen, sieht dann nur nicht ganz so schön aus.