Parameterdarstellung einer Ebene in R³

Question

Gegeben sei die Ebenengleichung 2x+3y+4z=9 (in R³)
Zu berechnen sind a) die Schnittpunkte mit den Achsen, b) eine Parameterdarstellung der Ebene und c) die Koordinaten des Punktes (1,1,1) in dieser Parameterdarstellung.

Für die Schnittpunkte habe ich S₁=(4,5;0;0) S₂=(0;3;0) und S₃=(0;0;2,25) herausbekommen.
Die Parameterdarstellung habe ich dann mit Hilfe dieser Punkte aufgestellt, also
X=(4,5;0;0) + r*(-4,5;3;0) + s*(-4,5;0;2,25)

Allerdings verstehe ich nicht was mit c) gemeint sein könnte.

 

Answer 1

 

die Schnittpunkte mit den Achsen hast Du richtig berechnet, auch Deine Parameterdarstellung der Ebene ist korrekt!

 

Ich denke, dass Aufgabe c) die Linearkombination der Parameterdarstellung für (1|1|1) fordert, also

(4,5|0|0) + r * (-4,5|3|0) + s * (-4,5|0|2,25) = (1|1|1)

3 Gleichungen mit 2 Unbekannten:

I. 4,5 - 4,5r - 4,5s = 1

II. 0 +3r +0s = 1 | r = 1/3

III. 0 + 0r + 2,25s = 1 | s = 1/(9/4) = 4/9

II. und III. in I. eingesetzt:

4,5 - 1,5 - 18/9 = 1

Kein Widerspruch, also liegt (1|1|1) in der Ebene und lässt sich darstellen als

(1|1|1) = (4,5|0|0) + 1/3 * (-4,5|3|0) + 4/9 * (-4,5|0|2,25)

 

Besten Gruß

Answer 2

S1 = [4.5, 0, 0]

S2 = [0, 3, 0]

S1 = [0, 0, 2.25]

 

X = [4.5, 0, 0] + r·[-4.5, 3, 0] + s·[-4.5, 0, 2.25] = [1, 1, 1]

Wir lösen das nach r und s auf und erhalten r = 1/3 ∧ s = 4/9 damit lautet die Koordinatenform des Punktes

[1, 1, 1] = [4.5, 0, 0] + 1/3·[-4.5, 3, 0] + 4/9·[-4.5, 0, 2.25]

Alles klar soweit ?