Verallgemeinerte Housholder Transformation

Question

Aufgabe:

Gegeben sei v ∈ R^ n mit v , 0, α ∈ R und
A = I − (α/ ∥v∥^ 2)* vvT .
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A sowie det A. Wann ist A invertierbar? Geben
Sie im Fall der Invertierbarkeit A^ (−1) an.

Problem/Ansatz:
Wenn x parallel zu vv ist: Setzen wir x=v:

Av=v-\( \frac{α}{∥v∥²} \) * (vTv)v= v- \( \frac{α ∥v∥²}{∥v∥²} \)*v =(1−α)v.

von A mit dem Eigenwert 1−α

Wenn x orthogonal zu v ist: Sei x so gewählt, dass vTx=0v dann:
Ax=x−0=x.

Daher sind alle Vektoren, die orthogonal zu v sind, Eigenvektoren von A mit dem Eigenwert 1

Determinante ist ja das Produkt ihrer Eigenwerte

   1−α (einmal)
  1 (n-1 mal) -> Da v ein Vektor in Rn ist, gibt es n−1 linear unabhängige Vektoren nin einer nxn Matrix , die orthogonal zu vv stehen.

Die Determinante von A ist somit:
det(A)=(1−α)⋅1^n-1=1−α.

A ist invertierbar⟺1−α≠0⟺α≠1.

und dann fehlt nur noch das berechnen des inversen

Erst einmal frage ich mich ob das was ich bisher gemacht habe so stimmt und ob ich zum invertieren jetzt die Sherman-Morrison-Formel, verwenden sollte

Comments

 $$\left( \frac{\alpha}{\|v\|^2} \right)$$

$$\left( \frac{\alpha \|v\|^2}{\|v\|^2} \right)$$

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Nach meinen Berechnungen wäre \(\displaystyle I-\left(\frac\alpha{\alpha-1}{\cdot}\frac1{\Vert v\Vert^2}\right){\!\cdot}vv^\top\) die Inverse. Kann das sein?

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Die Formel besagt, dass, wenn \( A=I-\beta u u^{T} \) invertierbar ist, dann gilt:

\( A^{-1}=I+\frac{\beta}{1-\beta \cdot\left(u^{T} u\right)} u u^{T} \)

In unserem Fall ist \( u=\frac{v}{\|v\|} \) und \( \beta=\frac{\alpha}{\|v\|^{2}} \).
 \( A=I-\frac{\alpha}{\|v\|^{2}} v v^{T} \) wird dann ->

\( A=I-\beta u u^{T} \)

\( \beta=\frac{\alpha}{\|v\|^{2}} \quad \text { und } \quad u=v \)

Schritt 2: Berechne den Skalar \( \beta \cdot\left(u^{T} u\right) \)
Da \( u=v \), ist:
\( u^{T} u=v^{T} v=\|v\|^{2} \)

Somit ergibt sich:
\( \beta \cdot\left(u^{T} u\right)=\frac{\alpha}{\|v\|^{2}} \cdot\|v\|^{2}=\alpha \)

Unter der Voraussetzung \( \alpha \neq 1 \), ergibt sich die Inverse \( A^{-1} \) als:
\( A^{-1}=I+\frac{\beta}{1-\alpha} u u^{T} . \)

Einsetzen von \( \beta=\frac{\alpha}{\|v\|^{2}} \) und \( u=v \)

Setzen \( \beta=\frac{\alpha}{\|v\|^{2}} \) und \( u=v \) in die Formel ein, so erhalten:
\( A^{-1}=I+\frac{\frac{\alpha}{\|v\|^{2}}}{1-\alpha} v v^{T} \)
Vereinfachung :
\( A^{-1}=I+\frac{\alpha}{\|v\|^{2}(1-\alpha)} v v^{T} \)

so würde ich auch auf das kommen, ist das der gleiche rechenweg?

Die frage ist jetzt immernoch ob die Determinante stimmt denn ich bin mir 0 Sicher ob das mit dem 1^(n-1 ) mal wirklich stimmt

Answer 1

Wenn die SM-Formel in der Formulierung mit \(\beta\) bekannt ist, dann ist es der natürliche Weg, diese mit dem richtigen \(\beta\) zu benutzen. Wenn man die nicht hat, kann man (vielleicht) die Inverse raten und dann nachprüfen/nachweisen, ob sie stimmt.

Zur Det: Deine Berechnung stimmt, wenn Ihr das char. Polynom als \(\det (A-\lambda I)\) definiert habt. Es gibt aber auch in manchen Büchern die Def. als \(\det (\lambda I-A)\). Dann wäre das Ergebnis \((-1)^n(1-\alpha)\). Prüfe also, welche Def. in Deiner Lehrveranstaltung zugrunde liegt.
Bei den Eigenwerten fehlt auch eine Überlegung zum Übergang: über Deine Argumentation findet man die geom. Vielfachheit \(n-1\) für den EW 1, und 1 für den EW \(1-\alpha\). Damit schließt man auf die alg. Vielfachheit und daraus erstmal, dass es keine weiteren EWe geben kann. Dann kommt die Determinante an die Reihe.