Integral - zurückgelegten Weg berechnen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ein Heißluftballon ist eine längere Zeit in der Luft.
Zur Vereinfachung gelte die Annahme, dass er sich dort nur in eine Richtung fortbewegt bzw. in entgegen gesetzter Richtung, wenn der Wind dreht. An Bord befindet sich ein Messgerät für die Geschwindigkeit über Grund, die der Ballon fährt.

Die Geschwindigkeit wird jetzt in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit in ein Koordinatensystem eingetragen, Rückwärtsfahrt mit „negativer" Geschwindigkeit gekennzeichnet. Es ergibt sich vom Start bis zur Landung des Ballons dabei folgendes Schaubild:

a) Bestimmen Sie die Länge des zurückgelegten Weges und Untersuchen Sie, in welcher Entfernung vom Start- der Landepunkt liegt.
b) Verallgemeinern Sie das Verfahren hinsichtlich der Frage, wie der zurückgelegte Weg aus einem
Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm rekonstruiert werden kann.

Problem/Ansatz:

Es soll keine Funktionsgleichung bestimmt werden!

Ich weiß, dass man zur Näherung der Flächen zum Beispiel Dreiecke, Rechtecke usw zeichnen kann, aber ich komme trotzdem irgendwie nicht klar bzw. Weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Die x-Achse soll die Zeit in Minuten darstellen. Meine Überlegung zu b ist, dass man ja eigentlich nur irgendwie das Integral bestimmen muss.

Answer 1

a) Der Gesamt-Weg ist die Fläche zw. der x-Achse und dem Graphen. Zähle die Kästchen aus und addiere die Summe. Dabei musst du ein wenig schätzen.

Die effektive Strecke vom Start bis zur Landung (Netto-Strecke) ist die Summe der positiven Integrale abzüglich der negativen.

b) Mathematisch ist sie der Betrag der Integrale zwischen den Nullstellen.

Ein exakte Berechnung setzt die Kenntnis der Funktion voraus. Du kommst hier nur zu ungefähren Werten, mehr oder weniger guten Näherungswerten.

Answer 2

Der insgesamt zurückgelegte Weg entspricht der Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse. Die Entfernung zum Startpunkt entspricht der Flächenbilanz der Teilflächen.

Mache dir diesen Unterschied klar.

Answer 3

Zähle die Kästchen, die der Graph mit der x-Achse zwischen jeweils zwei Nullstellen einschließt. Dieses ist ein Maß für die Zurückgelegte Strecke bei geeigneter Wahl der Einheiten auf der x- und y-Achse.

Ich habe hier mal die Fläche jeweils nach unten abgeschätzt und skizzenmäßig nur eine Funktion genommen, die ungefähr so wie deine ausschaut.