Aufgabe:
Berechnen Sie durch Einführen geeigneter Parametrisierung das Volumen und den Oberflächeninhalt des Bereichs, der durch den Kegelmantel
\(K: x^2 + y^2 = 3z^2\)
und die Sphäre
\(S: x^2 + y^2 + z^2 = 1\)
begrenzt wird, indem Sie
a) die Höhe des Schnittpunkts \(z = ?\) ermitteln.
b) das Volumen des Kegels berechnen.
c) das Volumen des Kugelabschnitts berechnen.
d) den Flächeninhalt des Kegelmantels berechnen.
e) den Flächeninhalt des Sphäre-Stücks berechnen.
Problem/Ansatz:
An sich habe ich keine großen Probleme mit den Aufgaben, es geht nur darum, dass ich öfters durcheinander komme manche Sachen zu parametrisieren.
Momentan habe ich probleme bei Aufgabe e), da ich mir nicht wirklich sicher bin ob ich die Integrationsgrenzen richtig gesetzt habe.
Ich zeig euch erstmal meine Rechenwege der Aufgaben
Rechenweg:
a)
\(x^2 + y^2 = 3z^2\)
\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)
\(3z^2 + z^2 = 1\)
\(4z^2 = 1\)
\(z^2 = \frac{1}{4}\)
\(z = \pm \frac{1}{2}\)
b)
\(V = \pi \int_0^{\frac{1}{2}} r(z)^2 \, dz\)
\(r(z)^2 = 3z^2\)
\(V = \pi \int_0^{\frac{1}{2}} 3z^2 \, dz\)
\(V = 3\pi \int_0^{\frac{1}{2}} z^2 \, dz\)
\(V = 3\pi \left[ \frac{z^3}{3} \right]_0^{\frac{1}{2}}\)
\(V = 3\pi \cdot \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3\)
\(V = 3\pi \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}\)
\(V = \frac{\pi}{8}\)
d)
\(A = 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} r(z) \sqrt{1 + \left( \frac{dr}{dz} \right)^2} \, dz\)
\(r(z) = \sqrt{3} \, z\)
\(\frac{dr}{dz} = \sqrt{3}\)
\(A = 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{3} z \sqrt{1 + 3} \, dz\)
\(A = 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{3} z \sqrt{4} \, dz\)
\(A = 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} 2\sqrt{3} z \, dz\)
\(A = 4\pi \sqrt{3} \int_0^{\frac{1}{2}} z \, dz\)
\(A = 4\pi \sqrt{3} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^{\frac{1}{2}}\)
\(A = 4\pi \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\)
\(A = \frac{\pi \sqrt{3}}{2}\)
Mit integration an sich habe ich keine Probleme, nur habe ich öfters probleme die Grenzen richtig zu setzen
e)
\(A = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin \theta \, d\theta \, d\phi\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin \theta \, d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_0^{\frac{\pi}{3}}\)1
\(= -\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos(0)\)
\(= -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\)
\(A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\phi\)
\(A = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi\)
Habe ich das so richtig berechnet? Also die Grenzen? Oder habe ich was übersehen?
Danke im voraus
