Ein elementarer Zugang geht über die binomische Formel.
Wegen \(p>1\) kannst du \(p=1+h\) mit \(h>0\) setzen.
Dann gilt offenbar für \(n> k\):
\(p^n = (1+h)^n = 1+\binom n1 h + \cdots + \binom nn h^n > \binom n{k+1} h^{k+1}\)
Damit gilt:
\(\frac {n^k}{p^n} < \frac{n^k}{\frac{n(n-1)\cdots (n-k)}{(k+1)!}h^{k+1}}= \frac{(k+1)!}{h^{k+1}}\cdot \underbrace{\frac{n^k}{n(n-1)\cdots (n-k+1)}}_{\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}1}\cdot \frac 1{n-k}\)
