In den Lösungen wird behauptet,dass das Integral gegen unendlich geht und man deswegen l`hospital anwenden kann.Wie …

Question

Aufgabe: Hier soll der Grenzwert berechnet werden.

Problem/Ansatz: In den Lösungen wird behauptet,dass das Integral gegen unendlich geht und man deswegen l`hospital anwenden kann.Wie kann man  erkennen,dass das Integral gegen unendlich konvergiert? Müsste ich nicht erst die Stammfunktion bilden und anschließend mir das Grenzverhalten anschauen oder gibt es einen leichteren Weg um zu erkennen,dass das Integral gegen unedlich konvergiert ?

Text erkannt:

Lösung:
(a) Mit der Regel von de l'Hospital (Fall " \( \frac{\infty}{\infty} \) ) erhält man
\( \begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\int \limits_{0}^{x^{2}}\left(e^{-t^{2}}+2 \cdot t\right) \mathrm{d} t}{x^{3}} & =\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(e^{-x^{4}}+2 \cdot x^{2}\right) \cdot 2 \cdot x}{3 \cdot x^{2}} \\ & =\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(e^{-x^{4}}+2 \cdot x^{2}\right) \cdot 2}{3 \cdot x}=\frac{2}{3} \end{aligned} \)
Wegen \( e^{\frac{1}{t}} \geq e^{0} \) für alle \( t \geq 1 \) gilt
\( \int \limits_{1}^{3 \cdot x} e^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t \stackrel{x \rightarrow \infty}{\rightarrow}+\infty . \)
Wir erhalten also ebenfalls mit der Regel von de l'Hospital (F
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\int \limits_{1}^{3 \cdot x} e^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{3 \cdot x}} \cdot 3}{1} \)

Comments

Der einfachste Weg in deinem Fall ist, sich gar nicht um die Konvergenz des Zählers zu kümmern.

Aus irgend einem Grund wissen viele nicht, dass im Falle \(\frac {f(x)}{g(x)}\) mit \(\lim_{x\to\infty}g(x) = \infty\) nicht extra gefordert werden muss, dass \(\lim_{x\to\infty}f(x) =\infty\).

Einen Beweis dieser Aussage findest du zum Beispiel hier.

Es genügen die stetige Differenzierbarkeit von \(f\) und \(g\) auf einem Intervall \((a,\infty)\) und die Existenz des endlichen Grenzwertes \(\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\).

Beides trifft in deinem Fall zu.

Answer 1

\(e^{-t^2}\) verläuft für \(t\to\infty\) nahe bei 0, dagegen wächst \(2t\) unbeschränkt. Daran sieht man, dass auch das Integral unbeschränkt wachsen wird, ohne es explizit auszurechnen.

gibt es einen leichteren Weg

Was leicht und was schwierig ist, ist subjektiv.

Einige Leute finden den von dir beschriebenen Weg leicht, weil man dabei nicht denken muss, sondern stur nach Rezept vorgehen kann.

Ich finde den von mir beschriebenen Weg leicht.

Comments

Einige Leute finden den von dir beschriebenen Weg leicht

Dann zeige mir mal einige Leute, die  die Stammfunktion bilden können

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Ja, das ist heftig.

Dies ist ein spezielles Integral (gaußsche Fehlerfunktion):

https://www.integralrechner.de/