Aloha :)
Wir bestimmen zuerst mit der Quotientenregel die Ableitung von \(\tan x\):$$\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\,\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\,\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$
Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir daraus die Ableitung des Zählers:$$\left(\tan\left(\pink{\frac{\pi\,x}{3}}\right)\right)'=\underbrace{\left(1+\tan^2\left(\pink{\frac{\pi\,x}{3}}\right)\right)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\pink{\frac\pi3}}_{\text{innere Abl.}}$$
Das führt uns mit der Krankenhaus-Regel zum gesuchten Grenzwert:$$\lim\limits_{x\to3}\frac{\tan\left(\frac{\pi\,x}{3}\right)}{x^2-9}=\lim\limits_{x\to3}\frac{\frac\pi3\cdot\left(1+\tan^2\left(\frac{\pi\,x}{3}\right)\right)}{2x}=\frac{\frac\pi3}{6}=\frac{\pi}{18}$$
