Tangens Grenzwert Hospital Anwenden?

Question

Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline $\lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{\tan \left(\frac{x \pi}{3}\right)}{x^{2}-9}$ \\
\hline$\frac{\pi}{18}$ \\
\hline
\end{tabular}

Aufgabe:

Hallo,

ich habe bei der Aufgabe hier L‘Hospital angewendet und den Tangens mit den trigonometrischen Fkt. ersetzt. Den Nenner musste ich nicht mehr ableiten und ich bin auf die 18 gekommen. Allerdings verstehe ich nicht ganz wie man den Zähler mit pi berechnet.

LG

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen zuerst mit der Quotientenregel die Ableitung von $\tan x$:$$\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\,\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\,\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$

Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir daraus die Ableitung des Zählers:$$\left(\tan\left(\pink{\frac{\pi\,x}{3}}\right)\right)'=\underbrace{\left(1+\tan^2\left(\pink{\frac{\pi\,x}{3}}\right)\right)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\pink{\frac\pi3}}_{\text{innere Abl.}}$$

Das führt uns mit der Krankenhaus-Regel zum gesuchten Grenzwert:$$\lim\limits_{x\to3}\frac{\tan\left(\frac{\pi\,x}{3}\right)}{x^2-9}=\lim\limits_{x\to3}\frac{\frac\pi3\cdot\left(1+\tan^2\left(\frac{\pi\,x}{3}\right)\right)}{2x}=\frac{\frac\pi3}{6}=\frac{\pi}{18}$$

Answer 2

Beim Ableiten des Tangens erhältst du doch $\frac{\pi}{3}$ als Vorfaktor. Daher kommt das $\pi$ im Zähler (Kettenregel).