Grenzwert mithilfe von del Hospital

Question

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(\cos (4 x)-1)}{x^{2} \cdot(\sin (2 x))^{2}}=\frac{2 \cdot(\cos (4 x)-1) \cdot(-4 \sin (4 x)}{2 x \cdot(\sin (2 x))^{2}+x^{2} \cdot 2 \sin (2 x) \cdot 2 \cos (2 x)} \)
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0} 2 \frac{-8 \cdot(\cos (4 x)-1) \cdot \sin (4 x)}{2 x \cdot(\sin (2 x))^{2}+4 x^{2} \cdot \sin (2 x) \cos (2 x)} \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0} 2 \cdot \frac{-32 \cdot\left(\sin (4 x) \sin ^{2}(2 x)-1\right) \cdot \cos (4 x)+32 \sin ^{2}(2 x)}{\sin \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)+8 x \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)+8 x^{2} \cdot \cos ^{2}(2 x)-8 x^{2} \cdot \sin ^{2}(2 x)} \end{array} \)
128. \( (\cos (4 x)-1) \cdot \sin (4 x)+128 \sin (4 x) \cdot \cos (4 x)+64 \cos ^{2}(24) \)
\( -16 \cos ^{2}(2 x) \)
\( 8 \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)+8 \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)+16 x \cdot \cos ^{2}(2 x)+64 x \cdot \cos ^{2}(2 x)-16 \sin ^{2}(2 x)-64 x \cdot \sin ^{2}(2 x) \)

Ich muss mithilfe von del Hospital den Grenzwert berechnen, jedoch rechne ich heute schon den ganzen Tag herum und komme einfach nicht auf das Ergebnis… 16 sollte herauskommen. Danke für jede Hilfe!

Comments

16 sollte herauskommen

Aber nicht für das, was ich oben links entziffere, nämlich

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow 0} \; \frac{\cos (4 x)-1}{x^{2} \sin ^{2}(2 x)}\)

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es ist mir leider ein fehler bei der angabe unterlaufen, sollte heißen: lim x-> 0 (cos(4x)-1)^2/(x^2*(sin(2x))^2

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Bei Deinem Nenner hat es mehr Klammern auf als Klammern zu.

Answer 1

Aloha :)

Um Himmels Willen, was hast du getan? Nach den Additionstheoremen gilt doch:$$\red{\cos(4x)}-\green1=\red{\cos^2(2x)-\sin^2(2x)}-\green{(\cos^2(2x)+\sin^2(2x))}=-2\sin^2(2x)$$

Damit lautet der Grenzwert:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos(4x)-1}{x^2\sin^2(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-2\sin^2(2x)}{x^2\sin^2(2x)}=-\lim\limits_{x\to0}\frac{2}{x^2}=-\infty$$

Nach dieser Umformung ist L'Hospital gar nicht mehr notwendig.

Ergänzung nach den Kommentaren

Der Fragensteller hat vergessen, den Zähler ins Quadrat zu setzen. Mit Quadrat kann man dann auch L'Hospital sinnvoll anwenden:$$g\coloneqq\lim\limits_{x\to0}\frac{\left(\cos(4x)-1\right)^{\pink2}}{x^2\sin^2(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(-2\sin^2(2x))^2}{x^2\sin^2(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{4\sin^2(2x)}{x^2}$$Nun verwenden wir 2-mal L'Hospital:$$g\stackrel{(1)}{=}\lim\limits_{x\to0}\frac{4\cdot\overbrace{2\cdot\sin(2x)\cdot\cos(2x)}^{=\sin(4x)}\cdot2}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{4\sin(4x)}{x}\stackrel{(2)}{=}\lim\limits_{x\to0}\frac{16\cos(4x)}{1}=16$$

Comments

Die Aufgabe ist von einem Übungsblatt auf dem Anwendungsbeispiele zu del Hospital sind, darum muss ich das verwenden. Laut Prof. soll 16 als Grenzwert herauskommen. Da wir das erst diese Woche gemacht haben, hab ich noch einige Schwierigkeiten damit wie man sieht

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Um Himmels Willen, was hast du getan?

Vermutlich sollte es im Zähler \(\big({\cos(4x)-1}\big)^2\) heißen. Kann das sein?

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Das erklärt die komische Ableitung des Zählers...

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ja genau, tut mir leid falls die schrift so unleserlich ist!

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...und auch die eigentlich überflüssigen Klammern.

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Die Schrift ist ja nicht unleserlich, weil das "hoch 2" fehlt einfach. ;)

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oh, stimmt! mein fehler. tut mir leid.

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ist denn nun die ableitung im zähler bzw nenner noch immer falsch?

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Ich habe meine Antwort um das fehlende Quadrat im Zähler der Aufgabenstellung ergänzt.

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besten dank!

Answer 2

Was hast Du denn da im Zähler gemacht?

Comments

tut mir leid, die angabe war leider falsch abgeschrieben, es sollte eigentlich heißen:

lim x->0 (cos(4x)-1)^2/(x^2*(sin(2x))^2

Answer 3

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(\cos (4 x)-1)}{x^{2} \cdot(\sin (2 x))^{2}}=\frac{-\sin(x) \cdot4 }{2x\cdot( \sin(2x))^2+x^2 \cdot 2\cdot \sin(2x)\cdot \cos(2x)\cdot 2  }\\=\frac{-\sin(x) \cdot2 }{x\cdot( \sin(2x))^2+x^2 \cdot 2\cdot \sin(2x)\cdot \cos(2x)  }\)

Einschübe:

 \(\sin(2x)=2\sin x \cos x\)  und  \(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x))\)

\(\frac{-2\sin(x)  }{x\cdot(2\sin x \cos x)^2+4x^2 \cdot \sin x \cos x\cdot (\cos^2(x)-\sin^2(x))  }\\=\frac{-2\sin(x)  }{4x\sin^2 (x) \cos^2 (x)+4x^2 \cdot \sin x \cos x\cdot (\cos^2(x)-\sin^2(x))  }\\=\frac{-1  }{2x\sin (x) \cos^2 (x)+2x^2 \cdot \cos x\cdot (\cos^2(x)-\sin^2(x))  }\\=-∞\)

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\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(\cos (4 x)-1)}{x^{2} \cdot(\sin (2 x))^{2}}=\frac{-\sin(x) \cdot4 }{2x\cdot( \sin(2x))^2+x^2 \cdot 2\cdot \sin(2x)\cdot \cos(2x)\cdot 2  }\\=\frac{-\sin(x) \cdot2 }{x\cdot( \sin(2x))^2+x^2 \cdot 2\cdot \sin(2x)\cdot \cos(2x)  }\)

Du machst natürlich denselben mathematischen Fehler wie der FS. Der Grenzwert entspricht nicht diesem Ausdruck!

Über den Rest rede ich lieber nicht.

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Wo genau habe denn nun den Fehler gemacht?

Ansonsten ist dein Kommentar für mich und auch den FS wertlos!

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Das habe ich in meiner Antwort beschrieben:

Abgesehen davon, dass die Ableitung des Zähler falsch ist (hier brauchst du nur die Kettenregel und anscheinend hast du hier irgendetwas mit der Produktregel versucht), besteht hier keine Gleichheit, denn der Limes entspricht mit Sicherheit nicht dem berechneten Ausdruck (auch nicht, wenn er richtig wäre).

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Die Ableitung von \(\cos(4x)-1\)  ist doch \(-4\sin(4x)\)

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Ich habe auch nichts Gegenteiliges behauptet.

Links steht ein Grenzwert (sofern existent) - rechts steht ein von \(x\) abhängiger Ausdruck.

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Du hast mir geschrieben:

Abgesehen davon, dass die Ableitung des Zählers falsch ist (hier brauchst du nur die Kettenregel und anscheinend hast du hier...

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Ich habe den für DICH relevanten Teil bewusst fett hervorgehoben ...

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Demnach sind mir im Nenner Fehler unterlaufen?

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Ich geb's auf...

Links steht ein Grenzwert und rechts steht ein von \(x\) abhängiger Ausdruck. Diese Gleichheit gilt nicht. Ganz gleich, was im Zähler oder Nenner durch Ableiten herauskommt!

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Ach so, ich hätte \( \lim\limits_{x\to 0 }\) überall davorsetzen müssen, bevor der Grenzwert bestimmt wird.

Answer 4

Beachte bitte, dass deine erste Zeile schon nicht stimmt. Abgesehen davon, dass die Ableitung des Zähler falsch ist (hier brauchst du nur die Kettenregel und anscheinend hast du hier irgendetwas mit der Produktregel versucht), besteht hier keine Gleichheit, denn der Limes entspricht mit Sicherheit nicht dem berechneten Ausdruck (auch nicht, wenn er richtig wäre). Hier stimmen - sofern der Grenzwert existiert - die Grenzwerte überein, das heißt hinter dem Gleichheitszeichen gehört nochmal ein "lim" hin.

In Anbetracht des falschen Ausdrucks noch einmal eine Ergänzung:

Anstatt unzählige Male abzuleiten, solltest du mal schauen, wo und ob du Faktoren kürzen kannst, damit die Ausdrücke eben auch einfacher werden. Außerdem kann es hilfreich sein, mal nach unterschiedlichen Additionstheoremen zu schauen und damit etwas herumprobieren.