Limes mithilfe von L-Hospital lim x→0 (5x-tan(5x)/(x^3)

Question

Ich habe folgendes Problem:

Mir ist klar, dass ich hier den LHospital (LH) anwende, jedoch verstehe ich den dann folgenden Schritt aus der Lösung nicht.

Ich habe die Funktion dann mehrmals neu abgeleitet, biss ich auf etwas bestimmtes kam. Dies wurde jedoch sehr komplex und ging sehr lange. (Also für Klausur nicht geeignet)

Den Lösungsschritten aus der Lösung konnte ich leider nicht folgen. Ich kenne keine Vereinfachung, die dieses Erlaubt.

Ebenfalls verstehe ich nicht, wieso ich das -125/3 erhalte und vor den Limes ziehen darf.

"Lösungsschritte der offiziellen Lösung"

lim x->0  (5x-tan(5x)/(x^3) 

=(LH)=> lim x->0  (-5tan^2(5x)/(3x^2)

=(?)=> -125/3 lim x->0  (sin(5x)/(5x)) * lim 1/(cos^2(5x)) = -125/3

Kann mit hier einer bitte Licht ins dunkle bringen?

Comments

Es wurde die Definition des Tangens eingesetzt und dann wurden ein paar Faktoren künstlich erzeugt, damit da zum Schluss bekannte Grenzwerte entstehen.

Mit künstlich meine ich sowas:

-5/3=-125/3 *1/25=-125/3* (1/5)^2

Answer 1

ich beziehe mich auf die PDF

tan(x) = sin(x) / cos(x)   →   tan²(x) = sin²(x) / cos²(x)  

lim_u→0  sin(u)/u = 1

Z1 einsetzen und Faktoren passend umsortieren, dann Z2 und die Grenzwertsätze anwenden.

Gruß Wolfgang 

Comments

Hmmm, vielen Dank, 

versuche das mal nach zu vollziehen. 

Answer 2

Extra ausführlich geschrieben:

Comments

2.Teil:

 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

---

Vielen Dank für diene Mühen. 

Das mit dem mehrfach ableiten habe ich ebenfalls gemacht, jedoch ist dies zu zeitaufwändig für meine Klausur. 

Daher habe ich gefragt, wie die Lösungen zu verstehen sind. ^^ 

Lg. Leroy 

Answer 3

Hallo

$$-\frac{5}{3}*\frac{tan^2(5x)}{x^2}$$ = $$-\frac{5}{3}*25*\frac{tan^2(5x)}{25*x^2}$$= $$-\frac{5}{3}*25*\frac{\sin^2(5x)}{25*x^2}*\frac{1}{\cos^2(5x)}$$

soweit klar? in deiner Lösung fehlt das Quadrat bei dem Bruch des sin

Comments

Prima vielen Dank. 

Das mit dem Ergänzen habe ich einigermaßen verstanden, jedoch verstehe ich nicht, wie aus dem tan^2 die sin und cos Identität gemacht wurde. 

Ich finde keine Vereinfachungstheoreme, mit denen ich genau diese Zusammenstellung von Sin und Cos erhalte.

Eine Andere Frage kommt bei mir ebenfalls noch auf. Warum haben wir ausgerechnet mit 25 Ergänzt? Hätten wir eine andere Zahl genommen, währe ein anderer Grenzwert heraus gekommen. 

Vielen Dank und