Warum drehe ich mich mit Hospital im Kreis?

Question

ich drehe mich irgendwie mit der Regel von Hospital im Kreis bei dieser Aufgabe:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-cos(4x)}{sinx^2}$$

Ich hoffe man vertseht was ich meine, aber dürfte ich auch, wenn  im durch ableiten den cos im Nenner stehen habe, die 1 (wegen x-->0) stehen lassen und dann den Zähler getrennt ableiten?

LG

Answer 1

Aloha :)

Bei L'Hospital musst du Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten. In deinem konkreten Fall muss das jedoch 2-mal hintereinander passieren:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos(4x)}{\sin x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{4\sin(4x)}{2x\cos x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{16\cos(4x)}{2\cos x^2-2x\cdot2x\sin(x^2)}=\frac{16}{2}=8$$

~plot~ (1-cos(4x))/sin(x^2) ; [[-3|3|-4|10]] ~plot~

Answer 2

Tipp: Doppelwinkelformeln und binomische Formeln. Arbeite mit den "alternate forms" hier z.B. für den Zähler:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281+-+cos%284x%29%29+

Nr. 2 ist vermutlich interessant, wenn du den gegebenen Bruchterm erst mal etwas vereinfachen möchtest.