Wie schreibe ich folgende Gleichung als Bruch, um sie mit der Regel von L‘hospital zu lösen?

Question

Aufgabe:

Wie schreibe ich folgende Gleichung als Bruch, um sie mit der Regel von L‘hopital zu lösen ?

\(\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[4]{x}*\sin(\frac{1}{\sqrt{x}})\)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Lim+%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D*sin%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%29x+to+infinit

Problem/Ansatz:

Ich habe die Gleichung als Latex einmal aufgeschrieben und in wolframalpha eingegeben. Die Lösung scheint Null zu sein. Die Regel von L‘hopital zu benutzen zu klnnen brauche ich jedoch einen bruch

Eine Umformung könnte sein

\(\lim\limits_{x\to\infty}x^{\frac{1}{4}}*\sin(\frac{1}{\sqrt{x}})\) kann ich jetzt schon beide ableiten in der schreibweise oder fehlt noch was ?

Comments

Wenn du einen Bruch haben willst, dann schreibe deinen Term in den Zähler und 1 in den Nenner und berücksichtige, dass  √x * 1/√x =  1  ist.

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt[4]{x}\sin\left(\frac{1}{\sqrt x}\right)\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^{\frac{1}{4}}\,\sin( x^{-\frac{1}{2}})\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin( x^{-\frac{1}{2}})}{x^{-{\frac{1}{4}}}}$$Bei dem Bruch konvergieren Zähler und Nenner beide unabhängig voneinander für \(x\to\infty\) genen \(0\). Wir können daher die Regel von L'Hospital anwenden, indem wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\cos(x^{-\frac{1}{2}})\cdot(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})}{-\frac{1}{4}x^{-\frac{5}{4}}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2\cos(x^{-\frac{1}{2}})}{x^{-\frac{5}{4}}\cdot x^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2\cos\left(\frac{1}{\sqrt x}\right)}{\sqrt[4]{x}}=0$$

Comments

Danke nochmal für die Ausführliche Lösung. Also kann man eine Wurzel auch als \frac{1}{x^{-\frac{1}{2}}} schreiben anstatt \sqrt{x}

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Du kannst eine Wurzel immer mit einem Bruch als Exponent schreiben:$$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$$

Man kann das sogar noch auf Potenzen von Brüchen ausweiten:$$\left(\sqrt[n]{x}\right)^k=x^{\frac{k}{n}}$$

Das ist sehr wichtig, weil man es oft sehr gut brauchen kann. Bitte unbedingt merken ;)

Was ich auch noch verwendet habe, ist die wichtige Regel, dass ein Faktor über den Bruchstrich springt, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt:

$$x^{\frac{1}{4}}=\frac{x^{\frac{1}{4}}}{1}=\frac{1}{x^{-\frac{1}{4}}}$$

Auch diese Regel ist sehr nützlich.