Hallo :)
Zunächst solltest du dir für a) überlegen, welche Werte \(D\) annehmen kann. Da \(X_1\) und \(X_2\) jeweils Werte aus \(\{1,2,3,4,5,6\}\) annehmen, liegen die Werte von \(D\) in: $$D \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}.$$ (Das sind einfach alle möglichen Differenzen)
Da die beiden Würfel unabhängig sind und jede Kombination von \( (X_1, X_2) \) gleich wahrscheinlich ist (\( \mathbb{P}(X_1 = x, X_2 = y) = \frac{1}{36} \)), berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten \( \mathbb{P}(D = k) \) für alle \( k \). Die Verteilung ist:
$$\mathbb{P}(D = k) = \begin{cases} \frac{1}{36}, & \text{für } k = \pm 5, \\ \frac{2}{36} = \frac{1}{18}, & \text{für } k = \pm 4, \\ \frac{3}{36} = \frac{1}{12}, & \text{für } k = \pm 3, \\ \frac{4}{36} = \frac{1}{9}, & \text{für } k = \pm 2, \\ \frac{5}{36}, & \text{für } k = \pm 1, \\ \frac{6}{36} = \frac{1}{6}, & \text{für } k = 0. \end{cases}$$
Überleg dir dazu einfach, wie viele Kombinationen es gibt, die auf das gewünschte Ereignis führen und teile durch die Anzahl aller Möglichkeiten (das sind beim zweifachen Würfelwurf 6*6=36).
b) Für die Unabhängigkeit musst du $$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B),$$ wobei hier \(A=\{X_1\geq 3\}=\{3,4,5,6\}\) und \(B=\{X_1 \text{ ist gerade}\}=\{2,4,6\}\).
Das sind ja alles Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Das Ausrechnen überlasse ich dir hier.
Melde dich, falls du Schwierigkeiten dabei hast.
