Berechnen sie den Grenzwert der Rekusiven Folge

Question

Aufgabe

Berechnen sie den Grenzwert der Rekusiven Folge

a1= 2

an+1= \( \sqrt[3]{2an²–an} \)

(3Wurzel)

Problem/Ansatz

ich weiß der Grenzwert ist 1 da die Folge beschränkt ist zwischen 1 und 2 weiß aber nicht wie ich das beweisen kann

klar ist auch lim von an ist gleich dem von an+1

Beweist man hier mit sandwich lemma oder grenzwertsätzen

LG

Comments

Normalerweise kann man hier das ganze zweiteilen.

Schritt 1 wäre die Konvergenz. Hier könntest du zum Beispiel argumentieren mit monotoner Konvergenz. Deine Folge ist mindestens \(1\) und monoton fallend, damit bekommst du die Konvergenz direkt geschenkt.

Schritt 2 ist der eigentliche Grenzwert. Erst wenn du Schritt 1 etabliert hast, kannst du jetzt folgern, dass dein Grenzwert \(x\) eine reelle Zahl \(x\geq 1\) sein muss, die \(x^3=2x^2-x\) erfüllt.

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Danke dir :)

Den ersten Schritt habe ich schon erledigt.

Kannst du mir eventuell noch kurz erklären warum der Grenzwert diese Gleichung erfüllen muss.

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Vlt kann ein Mod. den Text sauber darstellen. Sieht so schrecklich aus.

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Schritt 1 wäre die Konvergenz. Hier könntest du zum Beispiel argumentieren mit monotoner Konvergenz. Deine Folge ist mindestens \(1\) und monoton fallend, damit bekommst du die Konvergenz direkt geschenkt.

Das muss man erst mal nachweisen.

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Ich weiß, deshalb war das ein Kommentar und keine Antwort. Etwas Arbeit muss man dem FS ja überlassen^^

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Etwas Arbeit muss man dem FS ja überlassen

Eine vernünftige Einstellung.

Answer 1

Für den Grenzwert gilt

lim (n → ∞) a(n+1) = lim (n → ∞) a(n)

a = (2·a^2 - a)^(1/3) --> a = 1 (∨ a = 0)

Schaffst du meinen Ansatz nach a aufzulösen?

Kannst du sonst noch zeigen, dass für a1 = 2, die Folge streng monoton fallend ist, aber als untere Schranke die 1 hat.

Comments

Für den Grenzwert gilt

a(n+1) = a(n)

Das halte ich für äußerst fragwürdig.
Außerdem ist eine Folge nicht notwendigerweise konvergent, wenn sie streng monoton fallend ist.

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Ja das schaffe ich

Vielen Dank

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@Arsinoé4

Ich habe dem Text etwas mehr Feinschliff verabreicht.