Wahrscheinlichkeit beim Schachtelspiel

Question

Aufgabe:

Eine Schachtel mit N Vertiefungen wird mit N Kugeln gefüllt, verschlossen und geschüttelt, so dass jede der Kugeln unabhängig von allen anderen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer der Vertiefungen landet. Ohne in die Schachtel zu gucken wählt man eine der Vertiefungen aus. Es bezeichne A_k das Ereignis, dass in der gewählten Vertiefung k Kugeln liegen.

a) Berechner \(\mathbb{P}_{N} (A_{k})\).

b) Nun wähle l Vertiefungen auswählen. Es sei \(B_{k}^{l}\) das Ereignis, dass in diesen l Vertiefungen insgesamt k Kugeln liegen. Berechne \(\mathbb{P}_{N}(A_{k})\) liegen. Berechne \(\mathbb{P}_{N}(B_{k}^{l})\).

c) Berechne \(lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}_{N}(A^k)\) und \(lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}_{N}(B_k^l)\).

Tipp: Es gilt \(lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{(n-k)!n^k}\)=1
Problem/Ansatz:

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Comments

Mach ein Zahlenbeispiel: N= 10, k= 3

Es geht um Binomialverteilung.

b) hypergeometrische Verteilung

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Okay für das Beispiel hätte man \(\mathbb{P}(10)=\binom{10}{3} \cdot p^{3} \cdot (1-p)^{7}\).

Ich bin mir unsicher was ich für \(p\) in dem Beispiel setzen soll.

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Ich werfe N Kugeln in eine Schachtel mit N Vertiefungen. Die Wahrscheinlichkeit dabei eine bestimmte Vertiefung zu Treffen ist bei jeder Kugel p = 1/N.

Answer 1

unabhängig von allen anderen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer der Vertiefungen landet.

Damit sind die Voraussetzungen der Binomialverteilung erfüllt. Wenn es \(N\) Vertiefungen gibt und jede Vertiefung mit der gleichen Wahrscheinlichkeit getroffen wird, was muss dann logischerweise \(p\) sein (Laplace-Experiment)?

Bei Aufgabe b) ändert sich dann das \(p\), da wir dann \(l\) Vertiefungen auswählen. Unsere Trefferwahrscheinlichkeit wird also entsprechend der Anzahl der ausgewählten Vertiefungen größer. Mit der hypergeometrischen Verteilung hat das also nichts zu tun.

Tipp zu den Grenzwerten: Poisson-Approximation

Answer 2

a)

P(Ak) = (n über k)·(1/n)^k·(1 - 1/n)^(n - k)

b)

P(Bk,l) = (n über k)·(l/n)^k·(1 - l/n)^(n - k)

c)

lim (n → ∞) P(Ak) = 1/(e·k!)

lim (n → ∞) P(Bk,l) = l^k/(e·k!)