Maximale Krümmung der Kurve y = x^n

Question

Mir ist eine Aufgabe eingefallen.

Vielleicht hat jemand Lust, sich damit zu beschäftigen?

Bestimme die Stelle x_n der maximalen Krümmung der Kurve y = x^n für n = 2,3,4,5,6, ...

Welcher Verlauf ergibt sich?

Answer 1

f(x) = x^n mit n ≥ 2

in die Krümmungsfunktion einsetzen. Wenn man sich dabei auf positive Werte von x beschränkt erhält man

k(x) = f''(x) / (1 + f'(x)^2)^(3/2)
k(x) = n·x^(n + 1)·(n - 1) / (n^2·x^(2·n) + x^2)^(3/2)

Das Maximum der Krümmung erhält man, wenn die Ableitung 0 ist

k'(x) = n·x^n·(1 - n)·(n^2·x^(2·n)·(2·n - 1) + x^2·(2 - n)) / (n^2·x^(2·n) + x^2)^(5/2) = 0

Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist. Der Nenner darf nie Null sein.

n·x^n·(1 - n)·(n^2·x^(2·n)·(2·n - 1) + x^2·(2 - n)) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss einer der Faktoren Null sein.

n^2·x^(2·n)·(2·n - 1) + x^2·(2 - n) = 0
x^2·(n^2·x^(2·n - 2)·(2·n - 1) + (2 - n)) = 0

Erneuter Satz vom Nullprodukt

n^2·x^(2·n - 2)·(2·n - 1) + (2 - n) = 0

Direkt zum x über Äquivalenzumformungen auflösen

n^2·x^(2·n - 2)·(2·n - 1) = n - 2
x^(2·n - 2) = (n - 2) / (n^2·(2·n - 1))
x = ((n - 2) / (n^2·(2·n - 1)))^(1/(2·n - 2))

Skizze

~plot~ ((x-2)/(x^2·(2·x-1)))^(1/(2·x-2));[[1|10|0|1]] ~plot~

Comments

Sehr schön!

Das ist die gleiche Lösung wie von Oswald, nur das sie auch noch den Fall n=2 abdeckt.

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Dass Os Lösung korrekt ist habe ich ja nie angezweifelt. Mein Kommentar bezweifelte deine Fähigkeit, diese Korrektheit aus dem Kurvenverlauf ablesen zu können, an.
(Es war nicht ganz einfach, eine plausible grüne Funktion zu konstruieren.)

Answer 2

Für x ≥ 0 ist die Folge streng monoton und konvergiert gegen 1.

Comments

Vielleicht kann willyengland sagen, ob es darum ging oder ob die Frage hier missverstanden worden ist.

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@MC: Kannst Du einen Gedankengang formulieren, der die Antwort von Oswald als "Missverständnis" erklären würde?

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Ich meinte die Stellen x_n nicht die Krümmung selbst.

Bei n = 2 sollte es 0 sein und dann gegen 2 konvergieren, denke ich?

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\(x_n = \left({{2\,n^3-n^2}\over{n-2}}\right)^{{{1}\over{2-2\,n}}}\) für \(n > 2\).

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@oswald:

Wie kommst du zu diesem Term? Was hat er mit der Aufgabe zu tun?

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Bei n = 2 sollte 0 rauskommen.

Die Kurve sähe dann so aus. Dürfte stimmen.

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Wie kommst du zu diesem Term?

xⁿ in die Formel für die Krümmung eingesetzt, nach x abgeleitet, gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst.

Was hat er mit der Aufgabe zu tun?

willyengland hat nach 'nem x_n gefragt. Ich habe angegeben wie man das berechnet.

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Dürfte stimmen.

Kannst du anhand des Graphen entscheiden,

ob der rote oder der grüne Verlauf richtig ist ?

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Nein.

Eine vollständige Lösung enthält auch eine Herleitung.

Die gab es bisher nicht.

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Wie's geht steht in meinem Kommentar von vor einer Stunde. Das ganze jetzt noch mal von Hand nachzurechnen ist mir zu aufwendig.

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@oswald:

Danke für die Info.

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Dann wäre es jetzt an hj, seine Lösung vorzustellen.