Krümmung einer Kurve, fläche Trapez

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurve  k: y=\( \frac{x}{2} \)+\( \frac{2}{x} \) , x > 0

Die Kurve begrenzt mit der x-Achse des Koordinatensystems und den Senkrechten Geraden x=1 und X=4 eine Fläche A.

Zeichnen Sie diese Fläche, und lösen Sie ohne TR folgende Aufgaben:

a) Berechnen Sie die Krümmung der Kurve in ihrem Tiefpunkt. Geben Sie die Gleichung des zugehörigen Krümmungskreises an.

b) Berechnen sie den Inhalt der Fläche A

c) An der Stelle x₀ = 4 wird eine Tangente an die Kurve k gelegt. Diese Tangente zerlegt die Fläche A ind zwei Teilflächen, von denen eine trapezförmig ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes.

Problem/Ansatz:

Die Zeichnung und Aufgaben Teil B hab ich hinbekommen,

mein Ansatz zur Krümmung da fällt mir nur die Formel der Maximalen Krümmung ein doch um ehrlich zu sein weiß ich nicht was ich das zu tun habe. Bin sehr dankbar für jede Hilfe falls möglich so detalliert wie möglich.

Vielen Dank um Voraus

Answer 1

Berechnen Sie die Krümmung der Kurve

Die Krümmung einer Funktion f an der Stelle x ist f''(x) / (1+f'(x)²)^2/3.

in ihrem Tiefpunkt.

Der Tiefpunkt ist an der Nullstelle der Ableitung, an der die zweite Ableitung größer als Null ist.

Geben Sie die Gleichung des zugehörigen Krümmungskreises an.

        (y-y₀)² + (x-x₀)² = r²

Dabei ist (x₀ | y₀) der Mittelpunkt des Kreises und r der Radius.

Der Radius der Krümmingskreises ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung.

Die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zum Berührpunkt mit der Kurve ist senkrecht zur Tangente der Kurve.

Berechnen sie den Inhalt der Fläche A

        ∫_1..4 x/2 + 2/x dx

Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes.

        ∫1..4 t(x) dx

wobei t die angesprochene Tangente ist.

Answer 2

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmungskreis

Comments

Das könnte dann als Skizze so aussehen