Auf jeden Fall muss eine der beiden Zahlen eine gerade und die andere Zahl eine ungerade Zahl sein, denn wenn beide ungerade oder beide gerade sind, dann ist die Summe in jedem Fall gerade und damit gibt es bei Teilung durch 4 entweder den Rest 0 oder den Rest 2.
Ist nun also eine Zahl gerade (z.B. x) dann ist x2 auf jeden Fall durch 4 teilbar, denn x ist gerade bedeutet ja:
x = 2k für ein ganzzahliges k, also
x² = 4k² = 4j für ein ganzzahliges j=k².
Also muss y² ≡ 3 (mod 4) gelten.
y ist eine ungerade Zahl, also eine Zahl der Form
y = 2k+1 mit ganzzahligem k. Also gilt:
y² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4*(k²+k)+1
Jede ungerade Quadratzahl hat also bei Teilung durch 4 den Rest 1, damit besitzt die Gleichung überhaupt keine ganzzahligen Lösungen.