Kongruenz 243x=1 modulo(763) und System x=6(9), x=5(10) und x=4(13) lösen. Unterschied? Vorgehen?

Question

ich habe folgendes Problem:

ich habe zum einem eine -Aufgabe wo ich die Kongruenz von 243x=1(763) lösen soll.

und ich soll ein System lösen von : x=6(9) ; x=5(10) und x=4(13)

Diese Aufgaben ähneln sich für mich, jedoch denke ich mir das beide Aufgaben eine andere hervorgehensweise haben.

Wie löse ich jetzt ein System und eine Kongruenz?

Comments

Beim System x=6(9) , x=5(10) und x=4(13)

ist wohl ein Gleichungssystem gemeint.

D.h. du bestimmst die Lösungsmengen für die einzelnen modulo-Gleichungen (Kongruenzen) und schneidest dann diese Mengen. D.h. du bestimmst die Menge aller x, die alle 3 modulo-Gleichungen erfüllen.

Für diese Interpretation der Aufgabe, sollte aber zu Beginn eher ein KOMMA als ein Strichpunkt stehen. Ist das so?

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Schau mal unter

https://www.mathelounge.de/108727/kongruenz-berechnen-245x-%E2%89%A1-1-352-modulo-352-vorgehensweise

Dort habe ich eine ähnliche Aufgabe gelöst. Du solltest den erweiterten euklidischen Algorithmus anwenden.
Probierst du es zunächst mal selber?

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Ja, das sollte eigentlich mit einem komma getrennt sein.

Die Modulo Rechnung zu der Kongruenz versteh ich mittlerweile.


Aber bei dem System dort, muss ich auch dort einzelnd modulo  machen?

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x mod 9 = 6
x = 9·a + 6

x mod 10 = 5
x = 5·b + 10

x mod 13 = 4
x = 4·c + 13

Das sind diophantische Gleichungen die Du lösen kannst. Also z.B.

9·a + 6 = 5·b + 10

So solltest wohl insgesamt auf folgende Lösung kommen.

x = 180·n + 105

Das gibt bestimmt noch ein günstigeres Verfahren. Aber ich bin wohl heute schon zu müde.

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Aber ich bin wohl heute schon zu müde.

Man hat es gemerkt.

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Aber bei dem System dort, muss ich auch dort einzelnd modulo  machen?

Ob man das 'muss' oder ob's einfacher geht, findest du bestimmt selbst raus.

Das Gleichungssystem ist auf jeden Fall einzeln modulo gemeint. Mach das mal so und schaue erst nachher, welche Zahlen effektiv in allen 3 Mengen drinn sind. Könnte sein, dass das kgV von 9,10 und 13 eine Rolle spielt (?)

Vielleicht erkennst du dann am Resultat noch ein effizienteres Verfahren, das du begründen kannst, und kannst die Antwort von Mathecoach bestätigen oder widerlegen.

Tipp von Mathecoach etwas abgeändert:

x mod 9 = 6
x = 9·a + 6

x mod 10 = 5
x = 10·b + 5

x mod 13 = 4
x = 13·c + 4

Answer 1

Hi, das System [ x = 6 (9), x = 5 (10), x = 4 (13) ]
linearer Kongruenzen ist äquivalent zu x= −165 = 1005 (1170).

Ich skizziere einen möglichen Rechenweg:

(1) Ich beginne mit der ersten Kongruenz, es ist x = 6 (9) ⇔ x = 9*i + 6.

(2) Dies wird in die zweite Kongruenz eingesetzt und diese dann nach i aufgelöst:
9*i + 6 = 5 (10) ⇔ i = 1 (10) ⇔ i = 10*j + 1.

(3) Das letzte Ergebnis wird in (1) eingesetzt und vereinfacht:
x = 9*(10*j + 1) + 6 = 90*j + 15.

(4) Dies wird in die dritte Kongruenz eingesetzt und diese dann nach j aufgelöst:
90*j + 15 = 4 (13) ⇔ −j + 2 = 4 (13)  ⇔ j = −2 (13) ⇔ 13*k − 2.

(5) Das letzte Ergebnis wird in (3) eingesetzt und vereinfacht:
x = 90*(13*k − 2) + 15 = 1170*k − 165. Dies ist äquivalent zu:

(6) x = −165 = 1005 (1170).


Ein möglicher anderer Weg führt über den chinesischen Restsatz.