Konvergiert diese unendliche Reihe? Riecht nach Leibnitz aber ist nicht monoton

Question

Aufgabe:

Konvergiert die Reihe  $$\sum \limits_{n=4}^{\infty}(-1)^n/(2n+6(-1)^n)$$

Problem/Ansatz:

Man denkt natürlich an das Leibnitz-Kriterium, allerdings ist die Folge (ohne den Term im Zähler) nicht monoton fallend, da für gerade und ungerade n unterschiedlich. Man vermutet Konvergenz aber momentan habe ich einen Hänger. Die übrigen Kriterien (Wurzel, Quotienten, Vergleich liefern kein Ergebnis).

Irgendwelche Tips?

Danke!

Comments

Ich nenne die Folge, über die die Reihe gebildet wird, \(a_n\). Die Folge ist nicht monoton fallend, d. h. das Leibniz-Kriterium fällt raus.

Vergleichstest sollte gehen. Vielleicht mit der alternierenden harmonischen Reihe? (Die konvergiert ja).

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Kommentar zurückgezogen

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Vergleichskriterium hatte ich erfolglos probiert.

Raabe habe ich gerade nachgesehen, verlangt auch Monotonie oder liefert in der 2. Fassung absolute Konvergenz, was hier sicher nicht gegeben ist.

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Den Kommentar vom Gast verstehe ich nicht.

Denken wir, dass die Reihe konvergiert oder divergiert? Ich vermute Konvergenz…

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Answer 1

Bilde eine neue Reihe, indem du immer zwei aufeinanderfolgende Summanden dieser Reihe zu einem Summanden zusammenfasst. Dann siehst du klarer.

Comments

Cool, danke

So geht es

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Möglicherweise Vorsicht geboten: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Rechnen_innerhalb_der_Reihe

Zirkulär?

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Sozusagen eine versteckte Teleskop-Summe

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Auch wieder wahr

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Ich vermute, dass auch meine Aufteilung in die geraden und ungeraden Glieder darunter kranken könnte. Weil das geht m. W. auch nur für kovnergente Reihen. Ich kann leider nicht mehr mitknobeln, aber coole Aufgabe ;)

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Ich denke, ich habe nun eine saubere Lösung.

Ich erweitere den Bruch mit dem Nenner (dabei - statt + zwischen den Summanden), um im Nenner die dritte Binomische Formel anzuwenden. Liefert einen quadratischen Term im Nenner und damit konvergiert die Reihe nach Umformung.

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Gute Idee! Dann also doch eine alternierende harmonische Reihe in disguise?

$$\frac{2 n(-1)^{n}-6}{4\left(n^{2}-9\right)} \sim \frac{2 n(-1)^{n}}{4 n^{2}}=\frac{(-1)^{n}}{2 n}$$

Möchte wer den Reihenwert angeben?

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Ich hab's mal zu Fuß durchgerechnet und hab dabei die Asymptotik der harmonischen Summen \(H_n \sim \ln n + \gamma \) benutzt:
$$\frac 12 \left(\ln 2 -H_5 + \frac 34\right) \approx -0.4201$$

Hier ist \(H_n = \sum_{k=1}^n\frac 1k\)

Noch ein "Beweisfoto":