Taylorreihe unendliche Reihe: f(x)= 1/(1+x^2) skizzieren, nullpunktzentrierte Taylorreihe

Question

Sei gegeben die Funktion \( f(x)=\frac{1}{1+x^2} \)

Man skizziere die Funktion \( f(x) \) im Bereich \( 1 \leq x \leq 1 \)

Man bestimme die nullpunktzentrierte Taylorreihe von \( f(x) \) bis zum quadratischen Term:
$$ f(x) \approx P_{2}(x)=a_{0} | a_{1}*x | a_{2}*x^{2}, \quad a_{0}, a_{1}, a_{2} ?$$

Man ergänze \( P_{2}(x) \) in der obigen Skizze.

Wie gut ist die Approximation von \( f(x) \) durch \( P_{2}(x) \). konkret: Wie groß ist der Maximalfehler \( f(x)-P_{2}(x) \) im Bereich \( -1 \leq x \leq 1, \) und an welcher Stelle \( x \in[-1,1] \) entsteht dieser Maximalfehler?

Zu (b): Die Koeffizienten \( a_0, a_1, a_2 \) können einfacher als über die Ableitungen von \( f(x) \) bestimmt werden.

Comments

Ich helfe dir schon mal mit dem Anfang: 

Taylorreihe von 1/(1+x²) = 1/(1-(-x²))= ∑_k=0^∞  (-x²)^k  fuer |x²|<1 

Answer 1

f(x) = 1/(x^2 + 1)

T(x) = f(0)/0!·x^0 + f'(0)/1!·x^1 + f''(0)/2!·x^2

T(x) = 1 - x^2

Etwas einfacher gehts über die geometrische Reihe. Siehe den Kommentar von qarim.

Hier mal eine Skizze: