Stetigkeitbeweis von f(x)= (x)/(1+x) mit epsilon-delta-Kriterium. Richtig?

Question

Ich soll die Stetigkeit an folgender Funktion zeigen und wollte wissen, ob ich es richtig gemacht habe:
f:(-1,1)-->ℝ                       f(x)= (x)/(1+x)

∀ε>0∃δ>0∀x∈(-1,1): |x-x₀|<δ     =>   |f(x)-f(x₀)|<ε

$$|\frac { x }{ 1+x } -\frac { { x }_{ 0 } }{ 1+{ x }_{ 0 } } |<\varepsilon \\ |\frac { (1+{ x }_{ 0 })x-(1+x){ x }_{ 0 } }{ (1+x)(1+{ x }_{ 0 }) } |=|\frac { x+{ x }_{ 0 }x-{ x }_{ 0 }-x{ x }_{ 0 } }{ (1+x)(1+{ x }_{ 0 }) } |=|\frac { x-{ x }_{ 0 } }{ (1+x)(1+{ x }_{ 0 }) } |\le \frac { \delta  }{ 1+{ x }_{ 0 } } \\ \\$$
Zunächst habe ich erstmal das ganz normal eingesetzt und dann die Brücher auf den selben Hauptnenner gebracht und die Klammern aufgelöst und den Zähler dann zusammengefasst. Am Ende habe ich nur noch abgeschätzt und man kann die Betragstriche weglassen, da wir ja nur zwischen -1 und 1 die Funktion betrachten wird das nie negativ
Jetzt muss ich nur noch ein geignetes ε finden 
$$\delta =\varepsilon *(1+{ x }_{ 0 })\quad =>\quad \frac { \varepsilon *(1+{ x }_{ 0 }) }{ 1+{ x }_{ 0 } } =\varepsilon$$

Somit habe ich doch gezeigt das die Funktion stetig ist, oder?

Answer 1

Die letzte Zeile in deiner 3-zeiligen Umformung zu Beginn ist eher die Behauptung. du musst das Delta ja finden/angeben können.

"Jetzt muss ich nur noch ein geeignetes ε finden"

Du musst für jedes Epsilon > 0 ein Delta angeben können. Daher Fortsetzung besser umgekehrt formulieren. 

Jetzt muss ich nur noch ein geeignetes ∂ finden.

Comments

sonst ist das richtig so?