Aufgabe:
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Aufgabe 5. Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion. Es gelte
\( |f(x)-f(y)| \leq 9 \sqrt[3]{|x-y|} \quad \text { für } x, y \in \mathbb{R} . \)
Zeigen Sie, dass \( f \) stetig ist.
Lösung. Sei \( x_{0} \in \mathbb{R} \) beliebig und \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( \mathbb{R} \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} \). Dann gilt
\( \left|f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{0}\right)\right| \leq 9\left|x_{n}-x_{0}\right|^{\frac{1}{3}} \rightarrow 0 \text { für } n \rightarrow \infty . \)
Damit gilt also
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right) \)
und \( f \) ist stetig in \( x_{0} \).
Problem/Ansatz:
Die Lösung der Aufgabe habe ich, was ich brauche ist die Erklärung dazu...
Ich dachte ich muss hier das Epsilon Delta Kriterium anwenden. Der Lösungsweg sieht aber sehr kurz und einfach aus. Deswegen folgend Fragen: Wurde hier das Epsilon Delta Kriterium in verkürzter Schreibweise angewendet oder eine andere Methode? Wie soll ich allgemein an solche Aufgaben ran gehen?
