f stetig Äquivalent zum Epsilon-Delta-Kriterium

Question

Aufgabe 10.3 Sei \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) eine Funktion. Beweisen Sie, dass
i. \( f \) stetig in \( x_{0} \in \mathbb{R}^{n} \Leftrightarrow \) für jedes \( \varepsilon>0 \) ein \( \delta>0 \) existiert, sodass \( \left\|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right\|<\varepsilon \) für alle \( x, x^{\prime} \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \left\|x-x_{0}\right\|<\delta \) und \( \left\|x^{\prime}-x_{0}\right\|<\delta \).

f ist stetig in einem beliebigen Punkt x0, genau das gleiche sagt doch eben auch das epsilon Delta Kriterium, wie soll man das denn noch beweisen? Hilfe..

LG

Answer 1

Das \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium fordert für Stetigkeit bei \(x_0\), dass

        \( \left\|f(x)-f\left(x_0\right)\right\|<\varepsilon \)

für alle \( x, \) mit \( \left\|x-x_{0}\right\|<\delta \) ist.

Die Aufgabe fordert für Stetigkeit bei \(x_0\), dass

        \( \left\|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right\|<\varepsilon \)

für alle \( x, x^{\prime} \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \left\|x-x_{0}\right\|<\delta \) und \( \left\|x^{\prime}-x_{0}\right\|<\delta \) ist.

Die Implikation "⇐" kann einfach durch Wahl von \(x' = x_0\) gezeigt werden.