Aufgabe:
Aufgabe:In welchen Punkten ihres Definitionsbereichs sind die folgenden Funktionen jeweils stetig? Begründen Sie Ihre Antworten. \( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x+4, & \text { falls } x \leq-2 \\ \frac{1}{2} x^{2}, & \text { falls } x>-2\end{array}\right. \)
Loesung:
......., Damit haben wir gezeigt, dass \( f_{1} \) in allen Punkten \( x_{0} \in \mathbb{R} \backslash\{-2\} \) stetig ist. Zu untersuchen bleibt die Stetigkeit von \( f_{1} \) im Punkt \( x_{0}=-2 \). Hierzu sei ein beliebiges \( \varepsilon>0 \) gegeben. Wir setzen \( \delta:=\min \left\{\frac{\varepsilon}{2}, 2\right\} \). Dann gilt für alle \( x \in[-2 ;-2+\delta) \), dass
\( \begin{aligned} \mid f_{1}(x)-& f_{1}(-2)|=| \frac{1}{2} x^{2}-2\left|=\frac{1}{2}\right| x^{2}-2^{2}\left|=\frac{1}{2}\right|(x-2)(x+2) \mid \\ =& \frac{1}{2}|\underbrace{x+(-2)}_{<0}||\underbrace{x-(-2)}_{\geq 0}|=\frac{1}{2} \underbrace{(2-x)}_{\leq 4} \underbrace{(x-(-2))}_{<\delta}<\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \delta=2 \delta \leq \varepsilon \end{aligned} \)
und für alle \( x \in(-2-\delta ;-2] \) gilt, dass
\( \left|f_{1}(x)-f_{1}(-2)\right|=|(x+4)-2|=|\underbrace{x-(-2)}_{<0}|=-x-2<-(-2-\delta)-2=\delta, \)
also insgesamt \( \left|f_{1}(x)-f_{1}(-2)\right|<\varepsilon \) für alle \( x \in(-2-\delta ;-2+\delta) \). Dies zeigt, dass \( f_{1} \) auch im Punkt \( x_{0}=-2 \) stetig ist.
Problem/Ansatz:
1) kann ich immer beliebiges epsilon > 0 geben ?
2) warum ist delte δ := min{ε/2, 2} ?
3) "Dann gilt fur alle x ∈ [−2; −2 + δ]", sollte es nicht nur bei x \in -2 ?
4) "1/2 (2 − x) (x − (−2)) < 1/2 · 4 · δ = 2δ ≤ ε". haben sie hier x im "(2 − x)" durch 2 angesetzt ? damit es gilt 1/2 · 4 · δ ? und wie bekommen wir δ ?
