Stetigkeit von 1/x mit epsilon-delta Kriterium

Question

Aufgabe:

Stetigkeit von 1/x

Problem/Ansatz:

Man soll mit dem epsilon-Delta kriterium, die stetigkeit von 1/x beweisen.

Text erkannt:

\( \begin{array}{c} \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon \\ \left|x-x_{0}\right|<\delta \end{array} \)
(i)
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{x} \\ \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right|=\left|\frac{x_{0}-x}{x x_{0}}\right|=\frac{\left|x-x_{0}\right|}{\left|x x_{0}\right|} \leqslant \frac{\left|x-x_{0}\right|}{\left|\left(\left|x-x_{0}\right|+\left|x_{0}\right|\right) \cdot\right| x_{0}||}=\frac{\left|x-x_{0}\right|}{\left|x_{0}\right|\left|x-x_{0}\right|+\left|x_{0}\right|^{2}}<\frac{\delta}{\delta\left|x_{0}\right|+x_{0}^{2}}=\frac{\delta}{\delta x_{0}+x_{0}^{2}} \\ \Leftrightarrow\left|x_{x}-x\right|<\varepsilon|x x .| \\ =\frac{\delta}{\delta x_{0}+x_{0}^{2}}=\varepsilon \\ x \leq|x|=\left|x-x_{0}+x_{0}\right| \leq \underbrace{\left|x-x_{0}\right|}_{<\delta}+\left|x_{0}\right|<\delta+\left|x_{0}\right| \\ \delta=\varepsilon \delta x_{0}+\varepsilon x_{0}^{2} \\ \delta\left(1-\varepsilon x_{0}\right)=\varepsilon x_{0}^{2} \\ \delta=\frac{\varepsilon x_{0}^{2}}{1-\varepsilon x_{0}} \\ \end{array} \)

Kann ich das so machen?

ich habe auch schon im Internet geschaut, da ich das Kriterium nicht ganz verstanden habe, da ist aber die Lösung epsilon=2 delta/x0^2

Kann mir da jemand weiterhelfen, und vielleicht auch nochmal erklären, wie ich bei diesem Kriterium vorgehe?

Vielen Dank schon mal vorher

Answer 1

Hallo,

Du hast bei der ersten Abschätzung einen Fehler gemacht. Es sieht so aus - vielleicht täusche ich mich -, als hättest Du abgeschätzt:
$$\frac{1}{|x|} \leq \frac{1}{|x-x_0|+|x_0|}$$
Richtig wäre
$$\frac{1}{|x|} \leq \frac{1}{|x_0|-|x-x_0|}$$
wenn der Nenner positiv ist.

Die Lösung, die Du im Internet gefunden hast, scheint mir unvollständig. Ich würde es so machen: Um die Abschätzung von \(1/|x|\) möglichst locker wegzustecken, wähle ich mir \(\delta\) auf jeden Fall so, dass \(\delta \leq 0.5 |x_0|\) Dann gilt:

$$|x_0| =|x+x_0-x| \leq |x|+|x-x_0| <|x|+\delta \leq|x|+0.5|x_0| \Rightarrow |x| >0.5|x_0|$$

Sie jetzt \(\epsilon\) gegeben, dann wählen wir

$$\delta:=\min\{0.5|x_0|,0.5|x_0|^2\epsilon\}$$

Dann gilt für \(|x-x_0| < \delta\)

$$|f(x)-f(x_0)| \leq \frac{|x-x_0|}{|x||x_0|} \leq \frac{\delta}{0.5|x_0|^2}\leq \epsilon$$

Gruß Mathhilf

Comments

Woher weißt du, wie du 1/|x| abschätzt? Machst du das einfach "nach Gefühl"?

Also, das was du gemacht hast macht Sinn, Danke. Leider verstehe ich noch nicht, wieso meine Abschätzing falsch ist, könntest du mir das nochmal erklären?

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Ich hatte in der Lösung noch einen Fehler, den ich korrigiert habe - bei der Definition von \(\delta\).

Wenn Du \(1/|x|\) nach oben abschätzen willst, musst Du \(|x|\) nach untern abschätzen. Nimm zum Beispiel mal bei Deiner ersten Ungleichung x_0=5 und x=4.

Man "weiß" nicht vorher, wie man abschätzen kann. Ziel ist, die Abschätzung zu vereinfachen, indem sie nicht mehr explizit von delta abhängt. Dann muss man einfach mal etwas probieren.

(PS: Ich bin schon ziemlich alt, habe also kurz gesagt Erfahrung.)