Stetigkeit einer Funktion mit Epsilon-Delta-Kriterium nachweisen.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass f(x) = 2^x Stetig ist, mit Nachweis des Epsilon-Delta-Kriteriums. Unterscheide dabei in 3 die Fälle x < xo, x = xo, x > xo.

Problem/Ansatz:

Ich nicht so recht warum die Fallunterscheidungen wichtig sind und inwiefern mein Ansatz richtig ist. Ich würde mich über eine Rückmeldung freuen. LG

Mein Ansatz:

| f(x) - f(xo) | = | 2^x - 2^x | = | x * ln(2) - x * ln(2) | = ln(2) | x - xo | aus dem Epsilon Delta Kriterium wissen wir, dass |x - xo| < δ ist. Daraus folgt, dass ln(2) | x - xo | < ln(2) δ = ε -> δ = \( \frac{ε}{ln(2)} \)

Comments

Edit:

Ich hatte mich verschrieben ich meinte natürlich |2^x - 2^xo = | x * ln(2) - xo * ln(2) |

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Ok, jetzt ist x_0 drin. Deine Umformung |2^x - 2^{xo} = | x * ln(2) - xo * ln(2) | stimmt allerdings nicht, setzte z.B x=1 und x0=0 ein, dann steht da

1 = |1*ln(2)|

Answer 1

Hallo,

| 2^x - 2^x | = | x * ln(2) - x * ln(2) |
Das macht keinen Sinn, da nirgends x0 auftaucht. Ich geh mal davon aus, dass ihr 2^x = e^{x*ln(2)} über die Exponentialreihe definiert habt.
Besser:
| 2^x - 2^{x_0}|
Ich betrachte jetzt den Fall x> x_0. Dann kann man x= x_0 + h, mit h >0 schreiben.
| 2^{x_0+h} - 2^{x_0}|

= | 2^{x_0+h} - 2^{x_0}|

= | 2^{x_0} | * | 2^h - 1|

Korrektur:

Es bleibt zu zeigen, dass

\(|2^h-1| \leq \frac{\epsilon}{|2^{x_0}|} \)


Für h > 0 ist der Term auf der linken Seite positiv, also

\(2^h-1 \leq \frac{\epsilon}{|2^{x_0}|} \)


\(2^h \leq \frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1 \)


\(h \leq ln[\frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1] \)


\(x-x_0 = |x-x_0| \leq ln[\frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1] \)


Zusammengefasst:

\(|x-x_0| \leq ln[\frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1] \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \epsilon \)

Comments

Hallo,

wieso gilt die Abschätzung

$$2^h-1 \leq h \ln(2)$$

Gruß

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Danke für den Hinweis.

Ich hatte mich bei der Abschätzung vertan, richtig wäre

\(2^h-1 \geq h \ln(2)\) gewesen, was aber bei der Aufgabe nicht weiterhilft.

Es bleibt zu zeigen, dass

\(|2^h-1| \leq \frac{\epsilon}{|2^{x_0}|} \)

Für h > 0 ist der Term auf der linken Seite positiv, also

\(2^h-1 \leq \frac{\epsilon}{|2^{x_0}|} \)

\(2^h \leq \frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1 \)

\(h \leq ln[\frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1] \)

\(x-x_0 = |x-x_0| \leq ln[\frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1] \)

Zusammengefasst:

\(|x-x_0| \leq ln[\frac{\epsilon}{|2^{x_0}|}+1] \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \epsilon  \)