Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:
$$\text{ Sei } f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\\text{(a) } f(x):=\vert2-x^2\vert \\\text{(b) } f(x):=\sqrt{\vert x-1\vert} \\[10pt]\text{ Zu zeigen:} \\ (\forall a\in \mathbb{R} \land \forall\epsilon\gt0)\exists \delta \gt 0 \in D:(\vert f(x)-f(a) \vert \lt \epsilon,\vert x-a \vert \lt \delta ,\forall x \in \mathbb{R}) $$
Problem/Ansatz:
Ich bin leider noch nicht so ganz geübt mit dem Umgang mit den Epsilon-delta Kriterium und habe Probleme die richtigen Abschätzungen zu treffen.
Die Aufgabe (a) habe ich folgendermaßen bearbeitet, könntet Ihr mir sagen ob ich richtig gemacht habe und falls nicht die Aufgabe korrigieren:
$$\text{(a) }\\ \vert f(x)-f(a) \vert \lt \epsilon \\ \Longleftrightarrow \vert \vert2-x^2\vert-\vert2-a^2\vert\vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \vert2-x^2\vert-\vert2-a^2\vert\vert \leq \vert (2-x^2)-(2-a^2)\vert \lt \epsilon \\ \Longleftrightarrow \vert 2-x^2-2+a^2\vert=\vert -x^2+a^2\vert \lt \epsilon \\ \Longleftrightarrow \vert -x^2+a^2\vert = \vert -x+a\vert \vert x+a\vert \lt \vert x+a \vert * \delta \\ \Longleftrightarrow \vert x+a \vert * \delta = \vert x-a+a+a \vert * \delta= \vert x -a +2a \vert * \delta \\ \Longleftrightarrow \vert x -a +2a \vert * \delta \leq (\vert x -a \vert +\vert 2a \vert) * \delta \lt (\delta+2\vert a\vert) * \delta \\\Longleftrightarrow \vert f(x)-f(a) \vert \lt (\delta+2\vert a\vert) * \delta \leq \epsilon \\[10pt] \text{ Da delta frei wählbar ist, sei: } \delta \leq 1 \\\Longrightarrow (\delta+2\vert a\vert) \leq (1+2\vert a\vert) \\\Longleftrightarrow (1+2\vert a\vert) * \delta \leq \epsilon \\\Longleftrightarrow \delta \leq \frac{\epsilon}{(1+2\vert a\vert)} \\\Longrightarrow \delta := min\{1,\frac{\epsilon}{(1+2\vert a\vert)}\} \\[10pt] (1+2\vert a\vert) * \delta \\\Longleftrightarrow (1+2\vert a\vert)*\frac{\epsilon}{(1+2\vert a\vert)}= \epsilon \\\blacksquare \\\text{ Die funktion } f(x)= \vert 2-x^2 \vert \text{ ist für jedes } a\in \mathbb{R} \text{ im Definitionsbereich stetig.}$$
Bei Aufgabe (b) bin ich leider mitendrinn hängengeblieben...
Habe ich falsche abschätzung genommen oder sollte man die Aufgabe anders bearbeiten?
Könntet Ihr mir helfen und sage wie man weiter vorgehen soll?
$$\text{(b) }\\ \vert f(x)-f(a) \vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \sqrt{\vert x-1 \vert}-\sqrt{\vert a-1 \vert}\vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \sqrt{\vert x-1 \vert}-\sqrt{\vert a-1 \vert}\vert \leq \vert \sqrt{ x-1 }-\sqrt{ a-1 }\vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \sqrt{ x-1 }-\sqrt{ a-1 }\vert= \frac{\vert \sqrt{ x-1 }-\sqrt{ a-1 }\vert*\vert \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }\vert}{\vert \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }\vert} \\= \frac{\vert x-a \vert}{ \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }} \leq \frac{\vert x \vert}{ \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }}-\frac{\vert a \vert}{ \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }} \leq \frac{\vert x \vert}{ \sqrt{ x-1 }}-\frac{\vert a \vert}{ \sqrt{ a-1 }}\leq \vert x-a \vert \lt \delta \\\Longleftrightarrow \vert x-a \vert \lt \delta \leq \epsilon?$$
P.S Gibt eigentlich neben dem Epsilon-delta Kriterium andere Methoden stetigkeit nachzuweisen, wo man keine Abschätzungen treffen muss? Ich persönlich finde das Epsilon-delta Kriterium nicht sehr optimal , weil mir Abschätzungen schwer fallen.
