Aloha :)
zu a) Die Strecke vom Ursprung zum Punkt \(C(a;a;a)\) parametrisieren wir so:$$C_a\colon\;\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}at\\at\\at\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$Die benötigte Energie auf dem Weg \(C_a\) durch das Kraftfeld \(\vec F(\vec r)=(y,z,x)^T\) ist:$$E_a=\int\limits_C\vec F\cdot d\vec r=\int\limits_{0}^1\vec F(\vec r(t))\cdot\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\begin{pmatrix}at\\at\\at\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}dt$$$$\phantom{E_a}=\int\limits_0^13a^2t\,dt=3a^2\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1=\frac32\,a^2$$
zu b) Entlang des Wegs über die Punkte \(0ABC\) benötigt man die Energie:$$E_b=\int\limits_{(0|0|0)}^{(a|0|0)}\vec F\,d\vec r+\int\limits_{(a|0|0)}^{(a|a|0)}\vec F\,d\vec r+\int\limits_{(a|a|0)}^{(a|a|a)}\vec F\,d\vec r$$$$\phantom{E_b}=\int\limits_{(0|0|0)}^{(a|0|0)}\begin{pmatrix}y\\z\\x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}+\int\limits_{(a|0|0)}^{(a|a|0)}\begin{pmatrix}y\\z\\x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}+\int\limits_{(a|a|0)}^{(a|a|a)}\begin{pmatrix}y\\z\\x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}$$Beim 1-ten Weg sind \(y=0\) und \(z=0\) konstant, es ändert sich nur \(x\).
Beim 2-ten Weg sind \(x=a\) und \(z=0\) konstant, es ändert sich nur \(y\).
Beim 3-ten Weg sind \(x=a\) und \(y=a\) konstant, es ändert sich nur \(z\).
$$\phantom{E_b}=\int\limits_{(0|0|0)}^{(a|0|0)}\begin{pmatrix}0\\0\\x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\0\\0\end{pmatrix}+\int\limits_{(a|0|0)}^{(a|a|0)}\begin{pmatrix}y\\0\\a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\dy\\0\end{pmatrix}+\int\limits_{(a|a|0)}^{(a|a|a)}\begin{pmatrix}a\\z\\a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\dz\end{pmatrix}$$Nach Berechnung der Skalarprodukte bleibt nur ein Integral übrig:$$\phantom{E_b}=\int\limits_0^aa\,dz=a\cdot\left[z\right]_0^a=a^2$$
