Aloha :)
zu a) Ein Vektorfeld besitzt genau dann ein Potential, wenn seine Rotation verschwindet.
$$\operatorname{rot}\vec\phi=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\implies\text{hat kein Potential}$$$$\operatorname{rot}\vec\psi=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}e^{-x^2}+y^2+z^2\\2xy\\2xz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\2z-2z\\2y-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\implies\text{hat ein Potential}$$
zu b) Da \(\vec\psi\) ein Potential besitzt ist der Wert des Kurvenintegrals unabhängig vom Weg. Wegen der \(2\pi\)-Periode der Sinus- und Cosinus-Funktion sind auf dem Weg \(\vec\gamma\) Anfangs- und Endpunkt gleich, d.h. \(\vec\gamma\) beschreibt einen geschlossenen Weg. Das Potential ist daher bei Anfangs- und Endpunkt gleich, sodass die Potential-Differenz, also das zu berechnende Kurvenintegral, verschwindet.
zu c) Hier liegt keine Unabhängigkeit des Integrals vom gewählten Weg vor:$$E=\int\limits_{\vec\gamma(0)}^{\vec\gamma(2\pi)}\vec\phi(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{t=0}^{2\pi}\vec\phi(\vec r(t))\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt=\int\limits_{t=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}-\sin^2t\\\cos^2t\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin t\cos t\\2\sin t\cos t\\\cos t\end{pmatrix}dt$$$$\phantom E=\int\limits_0^{2\pi}\left(2\sin t\cos t+\cos t\right)dt=\left[\sin^2t+\sin t\right]_0^{2\pi}=0$$