Berechnen Sie das vektorielle Kurvenintegral \int \Gamma \phi(x, y, z) · {d}(x, y, z) .

Question

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Aufgabe 13.2. [Potentiale] Es seien die Vektorfelder $\phi, \psi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ gegeben durch
$\phi(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} -y \\ x \\ 1 \end{array}\right) \quad \psi(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} \exp \left(-x^{2}\right)+y^{2}+z^{2} \\ 2 x y \\ 2 x z \end{array}\right)$
und die Kurve $\Gamma$, parametrisiert durch
$\gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \gamma(t)=\left(\cos ^{2}(t), \sin ^{2}(t), \sin (t)\right)$
a) Untersuchen Sie, ob $\phi$ und $\psi$ ein Potential besitzen.
b) Welchen Wert hat das vektorielle Kurvenintegral $\int \limits_{\Gamma} \psi(x, y, z) \cdot \mathrm{d}(x, y, z)$ ?
c) Berechnen Sie das vektorielle Kurvenintegral $\int \limits_{\Gamma} \phi(x, y, z) \cdot \mathrm{d}(x, y, z)$.

Answer 1

Hallo

eigentlich müsst ihr ja wohl definiert haben was das vektorielle Kurvenintegral ist , ich kenne es nur als

$\int\limits_{0}^t f(\gamma(t)*\gamma'(t)dt$ aber mir ist der Ausdruck d(x,y,z) nicht vertraut, wenn er nicht d$\vec{x}$ bedeutet.

Wenn das kurvenintegral über den geschlossenen Weg 0 ist hat man ein Potential oder wenn rotφ=0

also einfach nachrechnen und ausrechnen, wenn dir ein Integral zu schwer ist benutze integralrechner.de

Oder formuliere eine frage, statt einfach ne aufgabe ohne Kommentar hier einzustellen.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

zu a) Ein Vektorfeld besitzt genau dann ein Potential, wenn seine Rotation verschwindet.

$$\operatorname{rot}\vec\phi=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\implies\text{hat kein Potential}$$$$\operatorname{rot}\vec\psi=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}e^{-x^2}+y^2+z^2\\2xy\\2xz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\2z-2z\\2y-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\implies\text{hat ein Potential}$$

zu b) Da $\vec\psi$ ein Potential besitzt ist der Wert des Kurvenintegrals unabhängig vom Weg. Wegen der $2\pi$-Periode der Sinus- und Cosinus-Funktion sind auf dem Weg $\vec\gamma$ Anfangs- und Endpunkt gleich, d.h. $\vec\gamma$ beschreibt einen geschlossenen Weg. Das Potential ist daher bei Anfangs- und Endpunkt gleich, sodass die Potential-Differenz, also das zu berechnende Kurvenintegral, verschwindet.

zu c) Hier liegt keine Unabhängigkeit des Integrals vom gewählten Weg vor:$$E=\int\limits_{\vec\gamma(0)}^{\vec\gamma(2\pi)}\vec\phi(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{t=0}^{2\pi}\vec\phi(\vec r(t))\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt=\int\limits_{t=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}-\sin^2t\\\cos^2t\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin t\cos t\\2\sin t\cos t\\\cos t\end{pmatrix}dt$$$$\phantom E=\int\limits_0^{2\pi}\left(2\sin t\cos t+\cos t\right)dt=\left[\sin^2t+\sin t\right]_0^{2\pi}=0$$