Abschluss von (Jordan-)Nullmengen

Question

Aufgabe:

$$\text{Zeige oder widerlege für den Abschluss } \bar{B} \text{ von } B \text{ die Aussagen:}$$

a)$$ \text{Ist } B \subseteq \mathbb{R}^n \text{ eine Jordan-Nullmenge, dann ist auch } \bar{B} \text{ eine Jordan-Nullmenge}$$

b)$$ \text{Ist } B \subseteq \mathbb{R}^n \text{ eine Nullmenge und beschränkt, dann ist auch } \bar{B} \text{ eine Nullmenge}$$
Problem/Ansatz:

$$ \text{ Zu a) hab ich mir überlegt, dass ja } \bar{B} \text{ ihren Rand enthält und da } B \text{ Jordan-messbar ist, ist } \partial B \\ \text{ eine Jordan-Nullmenge. Kann ich jetzt argumentieren, dass die Vereinigung von Jordan-Nullmengen} \\ \text{ auch eine Jordan-Nullmenge ist?}$$

$$\text{ Bei b) steh ich auch noch ziemlich auf dem Schlauch leider :(} $$

Answer 1

a) Für \( \varepsilon > 0\) beliebig seien \( B_{ 1} , \ldots B_{ n}  \) abgeschlossene Boxen, sodass \( N\subset \bigcup_{ k = 1}^{ n} B_{ k} \) und
\(\begin{aligned} \sum_{ k = 1}^{ n}\operatorname{vol}( B_{ k} ) < \varepsilon .\end{aligned}\)
Dann gilt auch \( \overline{ N} \subset \bigcup_{ k = 1}^{ n} B_{ k} \) und somit ist \( \overline{ N} \) auch eine Nullmenge.


b) Betrachte die Nullmenge \( \mathbf{Q}\). Was ist dann \(\overline{\mathbf{Q}}\)? (Anschliessende Frage: Woran scheitert das obige Argument, wölltest du es hier wieder anwenden?)

Comments

Ist \( \bar \mathbb{Q} = \mathbb{R} \)?

Für eine normale Nullmenge reicht ja schon  \( N\subset \bigcup_{ k = 1}^{ \infty} B_{ k} \)

und \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} vol(B_k) < \varepsilon\).

Würde es dann daran scheitern, dass \( \mathbb{R} \) überabzählbar ist, aber die \( B_{ k} \) nur abzählbar unendlich viele sind?

Oder worauf möchtest du hinaus?

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Es würde daran scheitern, dass eine unendliche Vereinigung von abgeschlossenen Mengen nicht mehr unbedingt abgeschlossen ist, also insbesondere \(\overline{N}\subset \bigcup_{k \geqslant 1} B_k\) nicht unbedingt gilt.

Ja, \(\overline{\mathbf{Q}}= \mathbf{R}\) und \(\lambda(\mathbf{R})= +\infty\).