Abschluss von (Jordan-)Nullmengen

Question

Aufgabe:

$$\text{Zeige oder widerlege für den Abschluss } \bar{B} \text{ von } B \text{ die Aussagen:}$$

a)$$\text{Ist } B \subseteq \mathbb{R}^n \text{ eine Jordan-Nullmenge, dann ist auch } \bar{B} \text{ eine Jordan-Nullmenge}$$

b)$$\text{Ist } B \subseteq \mathbb{R}^n \text{ eine Nullmenge und beschränkt, dann ist auch } \bar{B} \text{ eine Nullmenge}$$
Problem/Ansatz:

$$\text{ Zu a) hab ich mir überlegt, dass ja } \bar{B} \text{ ihren Rand enthält und da } B \text{ Jordan-messbar ist, ist } \partial B \\ \text{ eine Jordan-Nullmenge. Kann ich jetzt argumentieren, dass die Vereinigung von Jordan-Nullmengen} \\ \text{ auch eine Jordan-Nullmenge ist?}$$

$$\text{ Bei b) steh ich auch noch ziemlich auf dem Schlauch leider :(}$$

Answer 1

a) Für $\varepsilon > 0$ beliebig seien $B_{ 1} , \ldots B_{ n}$ abgeschlossene Boxen, sodass $N\subset \bigcup_{ k = 1}^{ n} B_{ k}$ und
$\begin{aligned} \sum_{ k = 1}^{ n}\operatorname{vol}( B_{ k} ) < \varepsilon .\end{aligned}$
Dann gilt auch $\overline{ N} \subset \bigcup_{ k = 1}^{ n} B_{ k}$ und somit ist $\overline{ N}$ auch eine Nullmenge.


b) Betrachte die Nullmenge $\mathbf{Q}$. Was ist dann $\overline{\mathbf{Q}}$? (Anschliessende Frage: Woran scheitert das obige Argument, wölltest du es hier wieder anwenden?)

Comments

Ist $\bar \mathbb{Q} = \mathbb{R}$?

Für eine normale Nullmenge reicht ja schon  $N\subset \bigcup_{ k = 1}^{ \infty} B_{ k}$

und $\sum \limits_{k=1}^{\infty} vol(B_k) < \varepsilon$.

Würde es dann daran scheitern, dass $\mathbb{R}$ überabzählbar ist, aber die $B_{ k}$ nur abzählbar unendlich viele sind?

Oder worauf möchtest du hinaus?

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Es würde daran scheitern, dass eine unendliche Vereinigung von abgeschlossenen Mengen nicht mehr unbedingt abgeschlossen ist, also insbesondere $\overline{N}\subset \bigcup_{k \geqslant 1} B_k$ nicht unbedingt gilt.

Ja, $\overline{\mathbf{Q}}= \mathbf{R}$ und $\lambda(\mathbf{R})= +\infty$.