Aloha :)
Wenn du dich durch das Kraftfeld \(\vec F(\vec r)=(xz;yz^2;xyz)^T\) bewegst, benötigst du dafür eine gewisse Menge Energie \(E\). Diese hängt in der Regel vom Weg \(C\) ab, den du durch dieses Kraftfeld wählst:$$E=\int\limits_C\vec F(\vec r)\,d\vec r$$
zu a) Wir sollen auf direktem Weg \(\overrightarrow{PQ}\) von \(P(3;1;0)\) nach \(Q(2;3;2)\) durch das Kraftfeld laufen. Dazu benötigen wir einen Ortsvektor \(vec r\), der diesen Weg beschreibt.$$\vec r=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2-3\\3-1\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-t\\1+2t\\2t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$Das ist nichts anderes als die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte \(P\) und \(Q\), allerdings durch den Parameter \(t\in[0;1]\) so eingeschränkt, dass wir uns nur zwischen diesen beiden Punkten bewegen.
zu b) Da wir nun den Weg \(\vec r(t)\) durch einen einzigen Parameter \(t\) beschrieben haben, können wir in dem Integral von oben substitutieren:$$E=\int\limits_C\vec F(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{t=0}^1\vec F(\vec r(t))\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt$$Im Einzelnen heißt das:$$\vec F(\vec r(t))=\begin{pmatrix}(3-t)\cdot2t\\(1+2t)\cdot(2t)^2\\(3-t)\cdot(1+2t)\cdot2t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6t-2t^2\\8t^3+4t^2\\-4t^3+10t^2+6t\end{pmatrix}\quad;\quad\frac{d\vec r(t)}{dt}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$$Das Skalarprodukt der beiden ist der Integrand:$$E=\int\limits_{t=0}^1\left(8t^3+30t^2+6t\right)\,dt=\left[2t^4+10t^3+3t^2\right]_0^1=15$$
